Вариационно матричным

Вариационно-матричный подход к расчету конструкций

Ниже рассмотрим вариационно-матричный способ [4, 38, 391 получения систем дифференциальных уравнений первого порядка для одномерных и квазиодномерных задач статики, устойчивости и колебаний. При выводах будем пользоваться векторно-матричной символикой, которая позволяет формально описать модель деформирования упругой системы, компактно выполнить необходимые преобразования и составить программы для ЭВМ.

Рассмотрим в общем виде вариационно-матричный способ полу-

Математическое описание деформирования тонких многослойных оболочек вращения может быть сведено к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения таких систем в настоящее время разработаны эффективные численные методы. Наиболее удобной формой для интегрирования на ЭВМ является представление разрешающих дифференциальных уравнений в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (или канонической системы). В § 3.5 был представлен в общем виде вариационно-матричный способ получения канонических систем. Ниже рассмотрим конкретную реализацию этого способа для оболочек вращения.

Ниже приводятся описания и тексты вспомогательных программ *, обеспечивающих вариационно-матричный способ получения канонических систем дифференциальных уравнений для решения задач статики и устойчивости и колебаний многослойных оболочек вращения; получение матриц фундаментальных решений и матриц жесткости кольцевых оболочечиых элементов; формирование и решение систем алгебраических уравнений относительно неизвестных обобщенных узловых перемещений.

Глава 3. Вариационно-матричный подход к расчету конструкций .............................. 71

Вариационно-матричный подход к расчету конструкций

Ниже рассмотрим вариационно-матричный способ [4, 38, 391 получения систем дифференциальных уравнений первого порядка для одномерных и квазиодномерных задач статики, устойчивости и колебаний. При выводах будем пользоваться векторно-матричной символикой, которая позволяет формально описать модель деформирования упругой системы, компактно выполнить необходимые преобразования и составить программы для ЭВМ.

Рассмотрим в общем виде вариационно-матричный способ полу-

Математическое описание деформирования тонких многослойных оболочек вращения может быть сведено к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения таких систем в настоящее время разработаны эффективные численные методы. Наиболее удобной формой для интегрирования на ЭВМ является представление разрешающих дифференциальных уравнений в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (или канонической системы). В § 3.5 был представлен в общем виде вариационно-матричный способ получения канонических систем. Ниже рассмотрим конкретную реализацию этого способа для оболочек вращения.

Ниже приводятся описания и тексты вспомогательных программ *, обеспечивающих вариационно-матричный способ получения канонических систем дифференциальных уравнений для решения задач статики и устойчивости и колебаний многослойных оболочек вращения; получение матриц фундаментальных решений и матриц жесткости кольцевых оболочечиых элементов; формирование и решение систем алгебраических уравнений относительно неизвестных обобщенных узловых перемещений.

Для одномерных задач показаны этапы вывода вариационно-матричным способом канонических систем дифференциальных уравнений, а также получения с помощью фундаментальных решений матриц жесткости одномерных элементов. Изложены основные положения метода конечных элементов, включая аппроксимацию решений, составление для элемента приведенных матриц жесткости,масс, начальных напряжений. Кратко рассмотрены методы решения задач Динамики и нелинейной статики.

Система дифференциальных уравнений (3.60) в качестве неизвестных функций аргумента s содержит компоненты векторов обобщенных перемещений {X} и обобщенных силовых факторов {К}. Граничные условия задачи определяются выражениями (3.52) и (3.53). Блоки разрешающей системы и вектор свободных членов были получены формальным вариационно-матричным способом. Для их вычисления согласно (3.61) необходимо иметь в качестве исходной информации законы распределения по сечению перемещений и деформаций [матрицы [Fi], [F2] и [LJ, [L2] (см. (3.43) и (3.44)]; соотношения упругости (матрица [G]), матрицы связи ICil, [С2] [см. (3.45)] и вектор внешних распределенных нагрузок {g}. Представленные соотношения (3.57), (3.58) -и (3.61), определяющие алгоритм получения канонических систем, являются общими для широкого класса одномерных систем.

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости и колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств.

Получим каноническую систему дифференциальных уравнений для решения линейных задач статики слоистых ортотропных оболочек вращения с использованием данной модели деформирования. При этом, как и прежде, воспользуемся вариационно-матричным способом и обозначениями (4.58) для оболочек вращения. После анализа выражений для деформаций и изменений кривизн (4.200) в качестве компонент вектора обобщенных перемещений примем

В главе основное внимание уделено описанию различных кинематических моделей деформирования трехслойных оболочек вращения и условиям стыковки со шпангоутами. Весьма трудоемкий этап получения разрешающих уравнений задач статики, устойчивости и колебаний предлагается выполнять вариационно.-матричным способом и включать его непосредственно в общую программу расчета на ЭВМ.

Определим необходимые исходные матрицы, которыми можно воспользоваться при получении вариационно-матричным способом канонических систем дифференциальных уравнений для оболочек вращения. В качестве компонент вектора обобщенных перемещений для данной модели деформирования с учетом обозначений (4.58) следует принять

Для одномерных задач показаны этапы вывода вариационно-матричным способом канонических систем дифференциальных уравнений, а также получения с помощью фундаментальных решений матриц жесткости одномерных элементов. Изложены основные положения метода конечных элементов, включая аппроксимацию решений, составление для элемента приведенных матриц жесткости,масс, начальных напряжений. Кратко рассмотрены методы решения задач Динамики и нелинейной статики.

Система дифференциальных уравнений (3.60) в качестве неизвестных функций аргумента s содержит компоненты векторов обобщенных перемещений {X} и обобщенных силовых факторов {К}. Граничные условия задачи определяются выражениями (3.52) и (3.53). Блоки разрешающей системы и вектор свободных членов были получены формальным вариационно-матричным способом. Для их вычисления согласно (3.61) необходимо иметь в качестве исходной информации законы распределения по сечению перемещений и деформаций [матрицы [Fi], [F2] и [LJ, [L2] (см. (3.43) и (3.44)]; соотношения упругости (матрица [G]), матрицы связи ICil, [С2] [см. (3.45)] и вектор внешних распределенных нагрузок {g}. Представленные соотношения (3.57), (3.58) -и (3.61), определяющие алгоритм получения канонических систем, являются общими для широкого класса одномерных систем.

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости и колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств.

Получим каноническую систему дифференциальных уравнений для решения линейных задач статики слоистых ортотропных оболочек вращения с использованием данной модели деформирования. При этом, как и прежде, воспользуемся вариационно-матричным способом и обозначениями (4.58) для оболочек вращения. После анализа выражений для деформаций и изменений кривизн (4.200) в качестве компонент вектора обобщенных перемещений примем

В главе основное внимание уделено описанию различных кинематических моделей деформирования трехслойных оболочек вращения и условиям стыковки со шпангоутами. Весьма трудоемкий этап получения разрешающих уравнений задач статики, устойчивости и колебаний предлагается выполнять вариационно.-матричным способом и включать его непосредственно в общую программу расчета на ЭВМ.