Вариационно разностным

') Это вариационно-разностный метод; частной его разновидностью является метод конечных элементов. — Прим. ред.

2. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД

Прямой вариационно-разностный метод. Сущность метода проследим на примере осесимметричной задачи без температурных и дополнительных деформаций.

Этот метод .имеет те же принципиальные основы, что и вариационно-разностный метод, но более прост при реализации на ЭВМ. Для расчета область разбивается на конечное число элементов, обычно треугольников для плоской задачи, торов для осесимметричной задачи и многогранников для пространственной задачи. В отличие от вариационно-разностного метода перемещение здесь представляют в виде суммы аппроксимирующих функций с числом слагаемых, равным числу узлов элемента. Это дает возможность выразить смещения как линейные функции узловых смещений этого же элемента.

2. Вариационно-разностный метод .......119

К числу эффективных методов анализа напряженно-деформированных состояний в элементах реакторов относятся численные методы - метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод граничных интегральных уравнений ( ГИУ), получившие значительное развитие в последнее десятилетие благодаря их повышенной универсальности и появлению ЭВМ с большими быстродействием и памятью. Конечно-разностный метод получил применение при определении термоупругих напряжений в зонах патрубков реакторов водо-водяного типа [10, 12].

При решении задач о номинальной и местной напряженности реакторов ВВЭР обычно приходится использовать комбинации указанных выше методов — сопротивления материалов, теории пластин и оболочек, аналитических и численных методов. Среди последних весьма эффективны вариационные методы - метод конечных элементов (см. § 4 настоящей главы) и вариационно-разностный метод.

Вариационно-разностный метод расчета элементов конструкций ВВЭР. Разностные уравнения выводятся как физические уравнения для конечного элемента сетки [6, 7] . Решение задачи в перемещениях существенно облегчает выполнение граничных условий, поставленных как для перемещений, так и для напряжений, оно естественно при анализе многосвязных областей, так как дает возможность обойти вопросы единственности и однозначности.

Вариационно-разностный метод Куранта. Диск разбивают на п сечений, причем на участке от Г{ до г;+1 прогиб диска представляется полиномом второй степени.

Вариационно-разностный метод указан в п. 3. Метод весьма перспективен, не требует использования ЭВМ с большой памятью и быстродействием.

Рост рабочих параметров машин и конструкций и связанное с ним повышение требований к их надежности при одновременном снижении материалоемкости вызвали развитие методов изучения напряженного и деформированного состояния элементов конструкций (машин) от силовых и тепловых нагрузок. В исследовании напряженного и, в частности, термонапряженного состояния элементов конструкций параллельно развиваются два направления: экспериментальное и расчетное. Среди экспериментальных исследований весьма результативными являются исследования напряжений и деформаций на моделях и натурных конструкциях [1—4]. Привлечение для модельных исследований методов трехмерной фотоупругости дало возможность находить температурные напряжения как на поверхности модели, так и по ее сечениям [1, 5, 6]. Что касается расчетных исследований, то численные методы с применением ЭВМ вошли в практику решения задач теории упругости как наиболее универсальные, позволяющие решать многие задачи теории упругости и термоупругости в принципе с любой желаемой степенью детализации. Наибольшее распространение в настоящее время получили два метода: метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ).

2. Уточнение исследования напряженно-деформированного состояния зубьев методами теории упругости, в частности вариационно-разностным в криволинейной системе координат.

Для тел сложной формы функции влияния наиболее просто определяются одним из численных методов (методом конечных элементов, вариационно-разностным методом и т. п., см. «иже).

При больших нагрузках в зонах концентрации напряжений появляются пластические деформации. На рис. 7.8 показано изменение напряжений ау в МПа и интенсивности деформаций EI в наиболее нагруженном сечении пластинки 30X30 мм с отверстием, а также изменение нормальных напряжений ав в МПа и интенсивность деформаций 8,6 на контуре отверстия (материал пластины — сталь 45, ат = 650 МПа). Расчет произведен вариационно-разностным методом. Штриховыми линиями показано решение упругой задачи, сплошными •— расчет по деформационной теории пластичности.

Рис. 8.8. Сеточная разметка при расчете вариационно-разностным методом и распределение напряжений в свободной части резьбы

На рис. 8.18, а и б дана сеточная разметка головки болта и корпусной детали для вычисления функций влияния и напряженного состояния в головке болта вариационно-разностным методом, а также показано изменение главных напряжений на контуре головки и стержня болта (контурные напряжения). Контактные давления на этом рисунке соответствуют случаю опирания головки болта на жесткое основание. На практике этому варианту приблизительно соответствует случай стягивания стальных деталей болтами из титановых сплавов. На рис. 8.18, б дан график распределения контактных давлений на опорном торце головки болта при опирании на жесткую (недеформируемую) деталь (кривая 1) и деталь из одинакового с болтом материала (кривая 2).

Рис. 8.22. Распределение напряжений в головке с двухрадиусной галтелью (расчет выполнен вариационно-разностным методом)

Для расчета напряженного состояния рассмотрим плоскую модель 'Соединения в декартовой системе координат. Основные размеры соединения и сеточная разметка хвостовика при решении задачи вариационно-разностным методом показаны на рис. 9.10, а. Сеточная разметка паза производилась аналогично.

На рис. 9.16, б показан пример расчета вариационно-разностным методом симметричного замкового соединения при внешней нагрузке 01 = 02= 10 МПа.

Па рис. 10.2 показана сеточная разметка одной модели колеса в виде четырехзубого сектора при вычислении функций влияния вариационно-разностным методом (плоская задача в полярных координатах).

На рис. 10.7 даны эпюры распределения нормальных напряжений на контуре корневой части зуба колеса при действии окружной силы Wa, = 10 Н/мн. Расчет произведен вариационно-разностным методом решения задач теории упругости. Рассчитываемое колесо имело 40 зубьев с модулем т=\ мм, которые были наре-

Расчет вариационно-разностным методом произведен для трехзубого сектора, закрепленного по внутреннему контуру (по контуру отверстия). Тонкие радиальные и окружные линии на рис. 10.7 иллюстрируют сеточную разметку части сектора, а цифры — напряжения в МПа в разных точках на поверхности зубьев.