Вещественными коэффициентами

эти значения переменных обратят в нуль и функцию Т, а так как Т является кинетической энергией, то оно не может обратиться в нуль при вещественных значениях q'r q'2, q's, т. е. при действительном движении точки. Мы видим, таким образом, что рассматриваемый определитель действительно всегда отличен от нуля и разрешение уравнений (2) всегда возможно. Если выражения х, у, z через qv q& qB содержат явно время, т. е.

получаемой, если взять в Т члены второго порядка. Этот дискриминант не может быть равен нулю, ибо в противном случае функция Т± обращалась бы в нуль при вещественных значениях qv q2, q'&, не равных нулю одновременно. Но тогда существовало бы возможное перемещение точки, получающееся, если, оставляя t постоянным, изменить q±, q<>, qs, и для этого

Различные численные методы обращения при положительных вещественных значениях s подробно исследованы Костом и Бек-кером [18, 19], поэтому здесь мы не будем пытаться оценивать эти методы. Достаточно сказать, что описываемые ниже техни-

Определение 17. Вещественная квадратичная форма (2.50) называется неотрицательной, если при любых вещественных значениях переменных выполняется условие

Определение 18. Вещественная квадратичная форма (2.50) называется положительно 'определенной, если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных (х =f< 0) выполняется условие А (х, х) > 0.

Очевидно, что граница устойчивости будет соответствовать вещественным значениям частоты [г, ибо в плоскости комплексного (J. вещественная ось разделяет области положительной и отрицательной величины затухания. Значит, уравнение (3. 88) для границы устойчивости должно решаться при вещественных значениях ц и в то же время величина к тоже должна быть вещественной. Приняв это во внимание, можно отделить вещественную часть от мнимой и тогда уравнение (3. 88) можно разбить на два уравнения:

Главная часть функции равна функции от главных частей величин, от которых она зависит. Наличие функции /° (л;) в мо-ментной части указывает на то, что функция зависит еще от некоторых комплексных параметров, помимо X. Если таких величин нет, то функция будет вещественной при вещественных значениях независимой переменной:

Подстановка значения соответствующих частных производных в выражение (3.52) для критерия устойчивости периодического решения показывает, что он не выполняется при всех вещественных значениях амплитуды А этого решения.

Исследование устойчивости .найденного периодического решения уравнения (3.53) движения привода по аналитическому критерию устойчивости (3.52) показывает, что оно выполняется при всех вещественных значениях амплитуды А этого решения.

Из формулы (3.61) следует, что три предельном значении подведенного давления, соответствующем равенству (3.44), амплитуда А периодических колебаний /привода равна нулю, а по мере увеличения подведенного давления возрастает. Таким образом, изменение амплитуды периодических колебаний привода с нелинейностью вида насыщения расхода во внешней цепи золотника имеет такой же характер, как и в приводе с нелинейностью вида насыщения перепада давления во внешней цепи золотника, и на плоскости А — рп выражается кривой, показанной на рис. 3.28. Исследование устойчивости найденного периодического решения по изложенному выше критерию показывает, что он выполняется при всех вещественных значениях амплитуды А этого решения и таким образом, как и при нелинейности вида насыщения перепада давления во внешней цепи золотника, образуется область устойчивых колебаний.

Если теперь, как и в предыдущем параграфе, положить, что положительные числа Л2, Л3, Л4 и А5 сколь угодно малые и их присутствие в уравнениях (7.134) не влияет на характер корней этих уравнений относительно чисел а2, аз, а4, as. то, приняв Л2, Л3, Л4, Л5 равными нулю, после соответствующих вычислений в преобразований получим четыре достаточных условия устойчивости системы при вещественных значениях постоянных чисел а2, G3, a4, а5.

порядка 2k с вещественными коэффициентами.

где Wjh(iu))= Aft(zco)/A(icu), Д(г'со)= det(— всо24- шВ+ G), алгебраическое дополнение (/, k) определителя A, Wjh(i(d) — дробно-рациональная функция от ico с вещественными коэффициентами, называемая частотной (или амплитудно-фазовой) характеристикой от входа д,- к выходу #А.

кратностей k, I, т, ... , то Р (х) = •> а» (х — а)* (х — Р)' (х — 7)"1 . . . Комплексные корни уравнения с вещественными коэффициентами могут быть только попарно сопряженными, т. е. если такое уравнение имеет корень а = в + Ы, то оно имеет также корень р = а — Ы и притом той же кратности. Произведение (х — о)(х — Р) в этом случае дает

гочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение вещественных множителей первой и второй степени

Уравнение нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Число вещественных корней, заключенных между любыми числами а и *, может быть точно определено при помощи теоремы Штурма (см. стр. 123).

нению с любым полиномом n-й степени с вещественными коэффициентами и коэффициентом 1 при х" полином Тп таков, что max Тп \ в промежутке (—1, 4-1) имеет наименьшее значение.

кратностей k, I, т ..... то Я (ж) = *= OQ (х — a)k (х — р)' (к — -у)"1 • • • Комплексные корни уравнения с вещественными коэффициентами могут быть только попарно сопряженными, т. е. если такое уравнение имеет корень а = а + Ы, то оно имеет также корень р = а — Ы и притом той же кратности. Произведение (х — а)(х — JJ) в этом случае дает

гочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение вещественных множителей первой и второй степени

Уравнение нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Число вещественных корней, заключенных между любыми числами а и 6, может быть точно определено при помощи теоремы Штурма (см. стр. 123). Коэффициенты алгебраического уравнения и его корни связаны соотношениями

„ 1 ,„_ чп ' j. 4Vнению с любым полиномом л-й степен ' ' (х) = -g- (•»* do*- 4- J); c вещественными коэффициентами коэффициентом 1 при *" полином Т

с вещественными коэффициентами, называется Рис' 4'9' Эллиптический параболоид, 2г= поверхностью второго порядка. Важнейшие = -- )- — —