Векторный треугольник

Это условие может быть удовлетворено, если модули векторов AL Л2 и А3 подобр.тгь так, что векторный многоугольник, образованный ими, будет подобен четырехугольнику ABCD, образуемому осями звеньев механизма (рис. 13.32). При таком подборе модули hit h2 и h3 должны удовлетворять пропорциям

Вследствие параллельности векторов Alt Aa и А3 соответственно сторонам АВ, ВС и CD их векторный многоугольник является как бы вторым шарнирным четырехзвенным механизмом ЛЯ1Я25, подобным основному механизму, и следовательно, все точки фигуры AH1H2S описывают траектории, подобные траекториям соответствующих точек звеньев данного механизма. Общий центр 5 масс звеньев механизма ABCD в этом случае находится на прямой AD и за все время движения механизма остается неподвижным, при этом удовлетворяется условие (13.47), или условие (13.48), и следовательно, силы инерции звеньев шарнирного четырехзвенника оказываются уравновешенными.

Неизвестные составляющие реакций F2'i. ^'м определяются по-строеннем плана сил, который представляет собой замкнутый векторный многоугольник, каждая сторона которого пропорциональна и параллельна одной из сил, входящих в векторное уравнение равновесия. Зная силы, выбираем масштабный коэффициент силы ИР и вычисляем соответствующие им длины отрезков. Затем, начиная от точки а, откладываем в соответствии с уравнением (4.72) векторы, изображающие силы F2i, FI, F$, F-M (рис. 4.24, 6). Через начало вектора F-n (точку а) проводим линию, параллельную 7;"'4, а через конец вектора Р"\ (точку е) — линию, параллельную Г'1Л. Точка / пересечения направлений определяет нормальные составляющие реакций F"i и F".(. Направление их принимается таким, чтобы стрелки на векторах сил были ориентированы в направлении обхода контура. Складывая векторы К\ и Г^, получаем полную реакцию F-д == fb • \.ip.

Проецируя векторный многоугольник схемы механизма на оси координат х и у, получаем два тождества:

Линии действия сил пересекаются в одной точке Векторный многоугольник еил

Для приведения выражения (17.2) к явному виду рассмотрим векторный многоугольник ODBAO'O, условие замкнутости которого имеет такой вид:

Построим пространственный векторный многоугольник по уравнению (17.13). Из конца вектора (Oj в плоскости П, параллельной плоскости хОу (рис. 17.3, б), отложим вектор со.21 под углом q>t к оси Ох. Из конца вектора с»21 в плоскости, перпендикулярной к оси АО, опустим на ось OD перпендикуляр. Этот перпендикуляр определит вектор со32, конец которого на оси OD совпадает с концом вектора С03.

Согласно последнему уравнению (13.4), строим векторный многоугольник центробежных моментов инерции, направляя каждый из известных векторов параллельно центробежной силе инерции: вектор т^/Ух] по силе P^\', вектор /na[f2/a] по силе Р„2 и вектор та[га13] по силе Р?з- Замыкая этот многоугольник (рис. 13.1, б) четвертым вектором, получаем значение и направление искомого уравновешивающего вектора mnfni/u]- Прямая 0ыа (рис. 13.1, а), проведенная из центра 0 паралельно найденному вектору mii[fii/n] (рис. 13.1,6), дает положение радиуса т уравновешивающей массы тц.

Теперь, согласно (13.2), строим векторный многоугольник статических моментов (рис. 13.1, в). Сначала строим в любом порядке известные по значению и направлению четыре вектора тдД, m2f2, rn3r3 и гпцГц, проводя их паралельно соответствующим центробежным силам РИЬ Рн2, РИЗ и Р„п (рис. 13.1, а). Далее, замыкая этот многоугольник (рис. 13.1, в) пятым вектором, получаем значение и направление искомого уравновешивающего вектора т\г\. Прямая Ои-^ (рис. 13.1, а), проведенная из центра О параллельно найденному вектору т\г\ (рис. 13.1, в), дает направление радиуса г\ уравновешивающей массы mj. Пусть значение

Решение. Строим векторный многоугольник (рис. 13.5, б), пропорциональный центробежным моментам инерции, на основании векторного уравнения

Строим векторный многоугольник (рис. 13.5, в), пропорциональный центробежным моментам инерции, на основании векторного уравнения

Скорости точек Лг и Л2 контакта звеньев / и 2 соответственно равны vA1 — о^СхЛ и УЛ2 = о>2С2Л. Рассмотрим векторный треугольник скоростей ~VA2 = fji + vA2A1 на рис. 2.6, г. Вектор относительного скольжения vs = vAiA1 [ ОЛ. Опустив перпендикуляр из точки А на направление vA2A1 найдем

Проектируя векторный треугольник Oab на ось у, получим

ной скорости 1>'А параллельно АВ, определяет повернутые скорости v'B и v'DT; вектор -o'DT замыкает векторный треугольник. Проводя параллельные прямые, находим нормальные ускорения w%, wnDr, wnB', при этом одновременно находится вектор '/2^. Многоугольник векторных ускорений можно построить по векторному уравнению*)

Для нахождения относительных угловых скоростей надо построить векторный треугольник VB — "°А + VBA (Рис- 304), откуда находятся величины

Из построения следует теорема 2. Векторный треугольник abc подобен треугольнику следов айЬ,рй.

Линия, проведенная через найденные выше следы аа, аь, должна быть перпендикулярной к прямой OF^. Следовательно, следы аа, аь, аьа будут расположены на одной прямой. Таким образом, горизонтали векторов Wa, Wb образуют на ортплоско-сти замкнутый векторный треугольник.

скорости Va, Vb и Vc, Vd. В результате указанного построения мы получили сопряженную фигуру pqlm, диагонали которой и определяют направления равнодействующих ubd и иЬа скоростей. Отсюда видно, что скорости иь = иа — ~йьа образуют замкнутый векторный треугольник, т. е. лежат в одной плоскости. Аналогично скорость иь образует со скоростями ис и иьс другой замкнутый векторный треугольник, расположенный в другой плоскости. Откладывая заданную нам скорость ucd по величине и направлению между диагоналями сопряженной фигуры, мы из концов векторов р и q легко строим диаграмму скоростей. Таким образом, горизонтали иа, и„, иьа и ucd скоростей Va, V6, Vba и Vcd нам известны. Для определения аппликат Са, Сь, С, СЬа и Ccd

Здесь УЬа — скорость шарнира В относительно шарнира А. Так как вектор Уьа относительной скорости направлен в пространстве перпендикулярно к прямой Ьа, то фокаль иьа пройдет на ортплоскости через' след Zba указанной прямой. Точка д пересечения фокалей иьа и udc относительных скоростей ~Уьа и Vdc будет представлять осевую плоскость для названных скоростей. Точка tyi представляет собой фокус плоскости аппликат для скоростей Уа, Уь и УЬа, фокали которых образуют на этой плоскости замкнутый векторный треугольник

Таким образом, по горизонтали иа известной скорости Va находим величины иь и иьа. Точка гзе является плоскостью аппликат для скоростей Vd, Vc и Vdc, горизонтали векторов которых образуют на указанной плоскости другой замкнутый векторный треугольник

должна проходить на ортплоскости через следы ВО и hb указанных прямых. Вследствие того, что вектор Vb перпендикулярен в пространстве к грани BDO, точка Fbd0 будет являться также следом Сь скорости Vb. Определим теперь направление фокали ub относительной скорости Vba, Согласно уравнению Vb = V а + Vba векторы, входящие в уравнение, образует замкнутый векторный треугольник, вследствие чего они будут расположены в одной плоскости. Точка F пересечения фокалей иа и иь будет являться фокусом плоскости для векторов Vb, Va и V Ьа. Линия, проведенная через следы Са, Сь перпендикулярно к прямой OF, является следом плоскости аппликат для скоростей Vb, Va и Vba. Из этих соображений фокаль иьа должна пройти на ортплоскости через общий фокус F пересечения фокалей иа и иь скоростей Va и Vb. С другой стороны, известно, что вектор относительной скорости Vba перпендикулярен в пространстве к звену АВ. Следовательно, фокаль иъа должна проходить также через след АВ звена АВ. След СЬа вектора относительной скорости Vba определится на плоскости аппликат СаСь перпендикуляром к фокали иьа. Зная направления осей иь и иЬа, по известной горизонтали иа скорости V а строим векторную диаграмму скоростей для данного положения механизма

Разлагая известный нам осевой вектор иа скорости va на составляющие, направленные по направлениям иь и иьа, находим горизонтальные составляющие скоростей vb и vba. Для определения аппликат этих скоростей, разлагаем известную аппликату С„ на составляющие Сь и Сва. Делительная точка d весовой линии Ськ делит Са на части и Сь и СЬа. Таким образом, мы получили векторный треугольник скоростей