Векторные произведения

эквивалентные позиции атомов, направления и плоскости. Так, все три оси четвертого порядка (все четыре оси третьего порядка) являются кристаллографически эквивалентными (рис. 4.3, г), Кристаллографически эквивалентными являются и плоскости симметрии, изображенные на рис. 4.3, д, в. 4. Анизотропность кристаллов. Вследствие кристаллического строения металлы в пределах зерна или в случае монокристалла в пределах всего тела обладают свойством анизотропности, состоящим в том, что важнейшие механические и физические характеристики являются в каждой точке тела функциями параметров направления. Материал в отношении всех своих механических и физических свойств обладает сим-^метрией, зависящей от симметрии кристаллографической формы. На рис. 4.4 показаны векторные диаграммы (поверхности) коэффициентов растяжения двух разных кристаллов. В чистом железе модуль упругости в направлении пространственной диагонали куба равен 29 000 кГ/мм2, в направлении диагонали грани —

Рис. 4.4. Векторные диаграммы (поверхности) коэффициентов растяжения: а) кристалла

С установленными симметричными и кососимметричными пробными грузами производят второй и третий пуски ротора. По данным измерений вибраций при этих пусках строят векторные диаграммы для определения векторов влияния пробных грузов. По этим данным вычисляют величины и угловое положение симметричных и кососимметричных уравновешивающих грузов.

у двухтактных двигателей, где Л7 — количество цилиндров в одном ряду. Векторная диаграмма первых гармоник моментов образует правильную звезду и имеет 2N лучей. Звездообразные векторные диаграммы гармоник v-ro порядка строятся на диаграмме первых гармоник v-кратным увеличением углов сдвига фаз. Полная диаграмма гармонических моментов строится как огибающая к полученным звездообразным векторным диаграммам. На фиг. 133 показана векторная диаграмма гармоник моментов первого порядка для четырехтактного восьмицилиндрового двигателя при угле между осями цилиндров 6 = 90° и соответствующий вал. Эта векторная диаграмма позволяет определить следующий порядок

— Пусковые ступени — Векторные диаграммы 13 — 454

Векторные диаграммы сил, действующих на вкладыш подшипника мотора и на шейку вала, получаются различной формы, хотя в них входят одни и те же силы. Дело в том, что относительное направление этих сил различно, так как имеется относительное движение вкладышей и шейки вала.

Таким образом, будем иметь для третьей и четвертой панели очевидные векторные диаграммы равновесия

Фиг. 2. Векторные диаграммы динамической неуравновешенности некоторых деталей текстильных машин: а — кружек электроверетен; б — копсов; в — веретен; г — рогулек.

Фиг. 8. Векторные диаграммы компенсационного генератора

Фиг. 204. Векторные диаграммы напряжений в схеме чувствительного элемента нагрузки (см. фиг. 107).

На рис. 3.26 приведены схемы замещения конденсаторов и катушек индуктивности и соответствующие им векторные диаграммы. При последовательных схемах замещения для конденсатора tg5 = coif С, для катушки индуктивности

Следует иметь в виду, что скалярные произведения ортов i • i = = / • / = k • k = 1; t • / = i • k = / • k — 0, а векторные произведения ортов t X I = J X / = "k X k = 0; 7 X / = 'k', 7 X fe = 7;

При силовом расчете пространственных механизмов векторные уравнения равновесия представляют пространственными многоугольниками векторов сил. Векторы сил удобно выражать через их проекции на координатные оси, моменты сил — через векторные произведения радиусов-векторов точек приложения и векторов сил. Рассмотрим на примерах расчета простейших пространственных шарнирно-рычажных механизмов последовательность определения реакций в кинематических парах.

Компоненты вектора •О'(0) есть малые углы поворота связанных осей относительно своего естественного состояния. Вектор и<°> характеризует смещение точек осевой линии стержня относительно естественного состояния. Векторные произведения, входящие в систему уравнений (1.107) — (1.111): x0XQ(0); xoXM(0); хоХФ(0>; хоХи(0), можно представить в виде (на примере хоХ XQ(0); см. п. 1.3 Приложения 1)

Преобразование уравнений к виду, удобному для интегрирования. Уравнения (3.5) — (3.9) представим в форме записи, удобной для численных методов решения, для этого векторные произведения

При решении с использованием ЭВМ уравнения (3.3) — (3.7) удобнее представить в векторно-матричной форме записи, так как векторы Qo, М0, х0 считаются известными. Рассмотрим, например, векторные произведения AxXQo, AxXM0, которые можно представить в виде (см. § 1.4 ч. 1)

Для несжимаемой жидкости Аш2 = 0, поэтому AQi(1) = AQi— —АР. Исключая из уравнений Ах и заменяя векторные произведения, как это сделано в § 3.1 [соотношения (3.9)], получим следующие уравнения:

Любая векторная функция может быть приведена к виду, который содержит первые или вторые степени вектора, скалярные и векторные произведения двух векторов или смешанное произведение трех векторов. Это означает, что равенства (3.21) —(3.24) вполне достаточны для перехода от векторной формы представления параметров к скалярной. Следует иметь в виду, что промежуточные преобразования легче выполнять с помощью векторных операций и лишь после получения конечного результата переходить к его скалярной форме. В последующих параграфах гл. 3 это будет показано на конкретных примерах.

где Q = ?! 4- Р2 + Р з — &1з> М = M! + М2 + М3 при условиях, что модули рц и р12 известны. Известны также скалярные произведения Ii • рц = — fi • р12 = — L1. Умножим уравнение (5.35) векторно слева на Tj и, раскрыв двойные векторные произведения, преобразуем уравнение к виду

и решим эту систему уравнений относительно векторов f i и F2, имея в виду, что F, • F2 = FtF2 cos a, Ft • f = F2 • Г = 0, a также a = al, 3 = dL Умножим уравнение (5.79) векторно слева на Г и раскроем двойные векторные произведения:

В формулах (9.65), (9.66) и (9.67) величины Ft, Gt, Яь Т1,- имеют выражения, в которые входят скалярные и скалярно-векторные произведения известных векторов, а также тригонометрические величины известных углов. Все Эти выражения могут быть легко получены на основании написанных выше формул.

Различают также скалярные и векторные произведения тензоров и векторов, а также — скалярное произведение тензоров [58].