Векторных произведений

Движение точки С может быть всегда разложено на переносно-поступательное со скоростью точки В или точки D и относительно-вращательное соответственно вокруг точки В или точки D. Тогда векторные уравнения для скорости vc точки С будут иметь следующий вид:

Для определения скорости какой-либо произвольной точки F звена 3 (рис. 4.17, а) составляем следующие векторные уравнения:

вращательного вокруг этих точек. Тогда векторные уравнения для определения ускорения ас точки С будут следующими:

3°. Аналитическое исследование плоских механизмов удобнее всего вести методом векторных контуров, подробно разработанным В. А. Зиновьевым. Так, для примера, показанного на рис. 5.1, удобно задачу о положениях звеньев решать, разбивая замкнутый контур ABCD на два треугольника ABD и BCD. Аналогично замкнутый контур ABC'D можно разбить на два треугольника ABD и BC'D. Тогда для этих контуров могут быть всегда составлены следующие векторные уравнения:

Для всех видов этих механизмов определение положений звеньев могло бы быть сделано рассмотрением одного или двух треугольных контуров. Для определения аналогов скоростей и ускорений можно составлять векторные уравнения замкнутости контуров и далее эти уравнения проектировать на взаимно перпендикулярные оси координат, а полученнвш выражения дважды дифференцировать по принятой обобщенной координате.

Для определения аналогов скоростей и ускорений составляются векторные уравнения замкнутости контуров A BCD А и DEFGD для механизма, показанного на рис. 5.16, а, и контуров ABCDA и EFDE для механизма, показанного на рис. 5.16, б.

Например, пусть требуется построить планы скоростей и ускорений в перманентном движении кулачкового механизма, показанного на рис. 6.9, а, у которого радиус кривизны ОгСг профиля кулачка в точке С равняется р. Имеем следующие векторные уравнения для определения скоростей и ускорений:

Сущность метода состоит в следующем. Звенья механизма изображают в виде векторов, которые образуют на схеме механизма один или несколько замкнутых векторных контуров. Затем составляют векторные уравнения замкнутости каждого контура. Проецируя векторы замкнутых контуров на оси выбранной системы координат, получают аналитические зависимости положений звеньев от обобщенной координаты механизма (функции положений звеньев). Дифференцируя по времени уравнения проекций, получают формулы для определения скоростей и ускорений. Если же уравнения проекций продифференцировать по обобщенной координате, то будут получены аналоги скоростей и ускорений. Направления векторов следует выбирать так, чтобы они указывали последовательность построения схемы механизма. Сначала намечаются неподвижные точки механизма. Направление вектора на неподвижном звене выбирается произвольно. Затем в виде вектора изображается начальное звено. Начало этого вектора совмещается с неподвижной точкой. Векторы, изображающие звенья в группах Ассура, можно направлять к внутренней кинематической паре группы.

Определим далее скорости остальных точек, принадлежащих звеньям группы (2,3). Для нахождения точки е на плане скоростей также можно составить и решить векторные уравнения. Однако в тех случаях, когда известны скорости двух точек звена, скорости остальных точек этого звена удобнее находить на осноиа-

Теперь можно векторные уравнения решать графически. В соответствии с первым уравнением из точки Ь в направлении от С к В откладываем отрезок Ьп2, изображающий а"й : Ьп.2 = а"«/ца = 29,6/0,2 = 148 мм.

Решаем векторные уравнения графически. В соответствии с первым уравнением из точки е плана ускорений параллельно FE в направлении от точки F к точке Е отложим отрезок еп^, изображающий ускорение а",-? : ел4 = oj.?/[ifl = = 1,75/0,2=8,75 мм. Через точку я4 проводим перпендикуляр к EF (направление вектора а-рр). В соответствии со вторым уравнением через точку я (так как dp — 0 и й^ = 0) проводим прямую, параллельную хх (направление вектора относительно ускорения arrl.-^. Эти линии пересекутся в искомой точке /. Соединим па плане ускорений точки е и f. На середине отрезка ef помещаем точку S4 и соединяем ее с полюсом я. План ускорений построен. Определяем абсолютные ускорения точек: ан — nb\ia = 72,5 • 0,2 = 14,5 м/с ; as = яз4[ла = 85 х X 0,2 =.-.; 17 м/с2; ас== яфа = 107 • 0,2 = 21,4 м/с2; а? = яеца = 89,2 • 0,2 =

Учитывая свойства скалярных и векторных произведений ортов координатных осей (см. гл. 5), получим из формулы (9.3) проекции vlt на координатные оси при заданном со,:

Найдем теперь аналитические выражения для Lz и Mz. Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось z векторных произведений [гр] и [rF].

Ниже мы рассмотрим некоторые примене-ния векторных произведений.

Аналогично получаем выражения и для остальных векторных произведений, входящих в систему (2.20) — (2.25). После преобра-

где матрицы входящих в уравнение векторных произведений определяют с использованием зависимостей (3.5), (3.7), (3.13) и (3.19):

Следует иметь в виду значения векторных произведений ортов осей координат:

Произведения четырех векторов. Напомним два известных произведения четырех векторов а, Ь, с и d — скалярное и векторное произведение попарных векторных произведений векторов

Проекции относительной скорости г>ВВ, находим как разность проекций скоростей ^Bl==(o1X'"i и t)B, = w2X''2- Используя правила нахождения проекций векторных произведений, получаем

Проекции относительной скорости vKlK, находим как разность проекций скоростей vKl = «>iXri и »Kl = co2Xr2. Используя правила ..нахождения проекций векторных произведений, получаем

Формула (3.78) представляет аналог известной формулы сферической тригонометрии. Она получена как следствие известной формулы для скалярного произведения двух векторных произведений, но ее можно было бы, не выводя, получить из обычной формулы сферической тригонометрии, положив все углы комплексными, т. е. раздвинув стороны углов (рис. 8).

скалярное произведение двух векторных произведений винтов