Векторной оптимизации

Если же mi>W2, то физический смысл имеют оба знака перед корнем — ответ в этом случае неоднозначен: под углом О импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения). Последний случай соответствует векторной диаграмме, показанной на рис. 4.14, в.

с угловой скоростью со . Амплитуда колебания достигает максимального значения при ф2 = ф, и равна Л, + Л2. Минимальное значение амплитуды получается при ф2 —ф, = ±л. В этом случае кбмплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна Л2— A\\. Поведение фазы ф также наглядно прослеживается на векторной диаграмме рис. 146. Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и фазой, определяемыми формулами (50.13aJ и (50.136).

линия 05 с фазой — e,D поворачивается по векторной диаграмме на л/2 полных оборота. Если член AD брать в полном составе по формуле (1. 27) с учетом малых членов с четными степенями коэффициентов трений, то условие AD = 0 и переход базы OS через вертикаль определит спектр собственных частот с поправками на трения. Обычно эти поправки малы и представляют интерес лишь в специальных исследованиях, а к расчету на проч-

При более высокой частоте со = 9,37 сект1 в рассматриваемой системе (фиг. 1. 8) наступает второй резонанс двухузлового типа, близкий к резонансу парциальной двухмассовой системы без подвески (to = y^c12 (Ji + /2)/ J\J% = 9,18). Образовавшийся ранее при со = 7,75 сект1 на первой массе «узел колебаний» как бы перемещается по участку 12 и делит его теперь приблизительно обратно пропорционально массам; впрочем на векторной диаграмме ясно видно, что настоящего второго узла, как неподвижной точки на упругом участке 12, нет (первый узел в заделке настоящий, но задан принудительно). Представление о неподвижных узлах, возникшее из практики расчетов колебаний без учета трения, в действительности должно заменяться точками с минимальными амплитудами колебаний. При еще более высоких частотах, например, при со = 10 сек'1, эта точка перемещается в рассматриваемом примере дальше по участку 12 по направлению к второй массе.

4. На векторной диаграмме откладывают в определенном масштабе: ер — по направлению Rp; &м1 — по направлению проекции R/ на ось М, вмь — по направлению проекции RJJ на ось т.

Место постановки mvi определяют по углу у (е{; RI) или на векторной диаграмме.

Величина Р определяется на балансировочном станке обычным способом с действительной точностью q. Измеряя масштабные значения Р, РМО на векторной диаграмме (рис. 4, а) с той же точностью определим значения РМО- Тогда величину уравновешивающих масс для моментной составляющей находим из зависимости РМ = РМО a/d.

Зависимости! (9) и (10) позволяют определить все векторы eit но в этом нет необходимости. Достаточно построить на векторной диаграмме ёц и еь и соединить прямой их концы. Полученный отрезок делим на участки,

При сложении гармонических колебаний одного направления, но различных частот wj и о>2 в векторной диаграмме фиг. 2 следует положить, что векторы Л, и AI вращаются с различными угловыми скоростями MJ и ш2. Если частоты ш1 и ц>2 мало различаются между собой, то расхождение векторов AI и А? происходит весьма медленно, и результирующее движение рассматривается как синусоидальное колебание с периодически изменяющейся амплитудой — биение (см. фиг. 3 для случая Л; = Л2).

на угол -у в положительном направлении (против часовой стрелки) на векторной диаграмме. Из уравнения (11) следует

определяемой по векторной диаграмме давления на эту шейку. При положении конца трубки в середине полости шатун-

Отметим, что задача (15.4) относится к классу задач векторной оптимизации, характеризующихся необходимостью выбора наилучшего решения при наличии нескольких критериев эффективности, которыми являются компоненты вектора Кд> v. В этом случае возможно большое число принципов оптимальности, которые приводят к выбору различных оптимальных решений. В общем случае задача векторной оптимизации отличается значительной сложностью, причем в математическом плане она идентична задаче упорядочения векторных множеств, а выбор принципа оптимальности—выбору отношения порядка [12]. В прикладных задачах динамического синтеза машинных агрегатов проблема выбора принципа оптимальности сводится обычно к задаче скаляри-зации вектора эффективности Кй, v и заключается в выборе на основе некоторой схемы компромисса обобщенного скалярного критерия эффективности Д (целевой аппроксимационной функции).

• 12. Б о р и с о в В. И. Проблемы векторной оптимизации.— В кн.: Исследование операций. Методологические аспекты.— М.: Наука, ,1972.

В табл. 5.7 представлены результаты расчетов оптимальных параметров конденсатора для проекта АЭС БРГД-1000 (низкотемпературный вариант), выполненных по различным программам с применением следующих критериев качества: стоимости комплекса конденсатор — система водоснабжения WK (5.1), стоимости конденсатора Фк (5.12), стоимости системы водоснабжения Фсв (5.15), массы конденсатора Мк (5.42), объема конденсатора УК (5.43), стоимости установленного киловатта YK (5.34). Во всех случаях, кроме последнего, при поиске оптимальных параметров накладывалось нелинейное ограничение (5.18), характеризующее максимально допустимую мощность на прокачку охлаждающей воды в конденсаторе ./Vjnax—Ю МВт. Кроме того, разрешенная область изменения переменных определялась также линейными ограничениями типа (5.17): 8 мм^-к^ЗО мм; 0,5 м/с^*2^3 м/с; 5^x^40; 12,5 0Cs^*4 =^20,5 °С. Система охлаждения — пруды-охладители, климатические условия — центр европейской части СССР. Расчеты проводились по методам скалярной и векторной оптимизации, причем в последнем случае рассматривались задачи с двумя критериями (варианты 5 и 6) и с тремя (вариант 7) критериями качества. В таблице для сравнения помещены в скобках значения неминимизируемых (в данном варианте) критериев качества.

5. Применение метода векторной оптимизации дает компромиссные решения, которые заранее трудно предсказать, но правильно отражающие логику выбора оптимальных параметров. Так, например, оптимизация по вектору {Мк, VK, Фсв} (вариант 7) по сравнению с вариантом 5 (критерий {Мк, Фсв}) приближает переменные х2 и *4 к оптимальным для вариантов минимизации Мк и Уц (варианты 1 и 3), поскольку в векторе {Мк, Ук, Фсв «удельный вес» составляющей Мк (или Ук) выше, чем в {Мк Фсв}, ввиду непротиворечивости критериев Мк и VK.

5.47. Салуквадзе М. Е. Задачи векторной оптимизации в теории управлениня. Тбилиси, «Мецниереба», 1975.

Вначале рассмотрим задачу анализа. Пусть заданы критерии качества Ф-, (a/GT), Y = 1, 2, . . ., р, которые по параметрам могут быть противоречивыми (задача векторной оптимизации). Необходимо найти компромиссный критерий, к примеру, типа

3. Борисов В. И. Проблемы векторной оптимизации.— В кн.: Исследование операций. М., «Наука», 1972.

Обе составляющие векторной функции 1 является одинаково важными, что и делает целесообразным постановку задачи векторной оптимизации. Введём частичное упорядочение следующим образом: I* лучше 1» , если if >l\ , Ц <'IJ". или I? >1* ; 1г 6 1 . Тогда задача оптимального проектирования формулируется так: найти конструктивные параметры установки X*, V и структуру У* системы управления, при которых целевая функция I принимает оптимальное значение

Оптимизация многоэкстремальных функций осуществляется методами случайного поиска [36]. Методы многокритериальной (векторной) оптимизации рассмотрены в [39].

Различают задачи однокритериальные, проводимые по одному обобщенному или доминирующему критерию (например, массе), и многокритериальные (задачи векторной оптимизации), проводимые одновременно по нескольким частным критериям.

Скалярное объединение противоречивых критериев в единый критерий качества редко приводит к результатам, удовлетворяющим исследователя. Поэтому появились методы векторной оптимизации, когда противоречивые критерии объединяются в единый критерий на векторной основе [2, 30].

16. Борисов В. И. Проблемы векторной оптимизации // Исследование операций. — М.: Наука, 1972. — С. 72—91.