Векторное исчисление

Кинематический расчет пространственных планетарных передач, составленных из конических зубчатых колес, осуществляется аналитическим или графическим методом, но при исследованиях оперируют векторной величиной угловой скорости. Такие механизмы нашли широкое применение в виде дифференциалов с двумя степенями свободы (рис. 15.9, а). Этот механизм состоит из центральных колес /, 3 и водила Н, вращающихся вокруг оси AOF, планетарного колеса 2, участвующего в двух вращательных движениях в пространстве (вместе с водилом вокруг оси OF и относительно водила вокруг оси ОС). Следовательно, ось ОС является осью вращения колеса 2 относительно водила Н, линия 0В — осью мгновенного вращения колеса 2 относительно колеса /, линия OD — осью мгновенного вращения колеса 2 относительно колеса 3.

Статика — раздел механики, в котором изучаются законы сложения сил и условия равновесия тел, находящихся под действием сил. Под силой понимается механическое воздействие, оказываемое одним телом на другое, в результате которого тело может деформироваться, переходить из состояния покоя в состояние движения и наоборот. Сила является векторной величиной и характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения. Внешними называются силы, действующие на данное тело со стороны других тел, а внутренними —силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга. Если на тело действует несколько сил, приложенных к одной точке, то, складывая их по правилу параллелограмма, находят их равнодействующую.

Очень удобно, особенно при решении задач со сложным расположением многих зарядов, определять силу, действующую на единичный положительный заряд. Для этого представим себе положительный пробный заряд величиной в 1 СГСЭ,?. Предположим, далее, что этот пробный заряд можно перемещать в пространстве от точки к точке, оставляя все остальные заряды неподвижными, а сила, действующая на пробный заряд, может быть измерена в любой заданной точке; измерение должно производиться в условиях, когда пробный заряд неподвижно находится в данной точке. Как и любая сила, измеряемая сила, действующая на единичный положительный заряд, является векторной величиной; она называется напряженностью электрического поля Е в данной точке.

Ввиду того что момент пары имеет направление, он является векторной величиной. Момент пары изображают в виде вектора, перпендикулярного к плоскости действия пары, как показано на рис. 48,6. Под плоскостью действия пары понимается плоскость, на которой расположены векторы сил пары (на рис. 48, б — плоскость Я). Если пара стремится вращать плоскость по часовой стрелке, то вектор момента откладывают вверх, если против — вниз. На

ляется векторной величиной. Графически момент силы изображается так же, как и момент пары, т. е. в виде вектора, перпендикулярного к плоскости действия силы (рис. 60).

При изучении переменного прямолинейного движения точки под термином «ускорение» мы понимали только изменение скорости по величине. Однако в криволинейном движении меняется и направление скорости, так как криволинейное движение иначе не может возникнуть. Скорость является векторной величиной; вектор скорости, обозначаемый v (в отличие от его модуля v), направлен по касательной к той же точке траектории, в которой в данный момент времени находится движущаяся точка *.

Векторным полем называется часть пространства, характеризуемая векторной величиной, например скоростью частиц жидкости v, которая является функцией координат xt(t). Для графического изображения векторного поля введено понятие векторных или силовых линий, которые имеют определенный физический смысл. Векторной или силовой линией векторного поля называется кривая (линия), в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора поля в этой точке (рис. 6.3). Через каждую точку Л векторного поля проходит одна векторная линия, ка-

Физическая величина, определяемая своим численным значением и направлением, называется векторной величиной. Векторную величину изображают направленным отрезком прямой — вектором, длина которого, измеренная в определенном масштабе, равна численному значению этой физической величины, а направление стрелки указывает направление ее действия (рис. 1.1).

Напряжение является векторной величиной. Из последней формулы видно, что напряжение измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В качестве единицы напряжения принята единица, называемая паскалем и обозначаемая Па. Паскаль имеет размерность Ь^МТ*2; 1 Па = 1 Н/м2.

Кинематический расчет пространственных планетарных передач, составленных из конических зубчатых колес, осуществляется аналитическим или графическим методом, но при исследованиях оперируют векторной величиной угловой скорости. Такие механизмы нашли широкое применение в виде дифференциалов с двумя степенями свободы (рис. 15.9, а). Этот механизм состоит из центральных колес /, 3 и водила Н, вращающихся вокруг оси AOF, планетарного колеса 2, участвующего в двух вращательных движениях в пространстве (вместе с водилом вокруг оси OF и относительно

Градиент, являясь векторной величиной, характеризует меру наибольшей интенсивности изменения температуры в теле. Положительным направлением градиента считается то направление, в котором температура возрастает.

В первой главе изложены методы вывода уравнений равновесия для наиболее общего случая пространственно-криволинейных стержней. При выводе используется векторное исчисление, позволяющее получить уравнения в наиболее компактной форме записи, удобной при преобразованиях. Используются две системы координат: неподвижная (декартова) и подвижная (связанная с осевой линией стержня). В зависимости от конкретных условий задачи выбор системы координат может существенно упростить уравнения и их решение.

В качестве основного математического аппарата, применяемого в теоретической мех-анике, используется векторное исчисление. Прежде чем перейти к изложению собствен-^ но механики, рассмотрим кратко элементар-* ные положения теории векторов.

Теория структуры механизмов развивалась в работах очень многих советских и зарубежных ученых не только на базе идей Ассура. Многие использовали структурные уравнения Грюблера, Кутцбаха, Альта и др. Применяли для исследования структуры и кинематики механизмов теорию графов, матрично — тензорные методы, теорию винтов, методы комплексных переменных, методы проективной геометрии и, наконец, векторное исчисление и т. д. Однако рассмотрение этих работ не входит в задачи данной книги: здесь дается обзор только тех работ, которые в качестве своего научного кредо имеют принципы и идеи, заложенные Ассуром. Авторами сделана попытка обозрения тех основных направлений в развитии теории структуры, анализа и синтеза механизмов, которые, базируясь на идеях Ассура, значительно вышли за рамки его работ и обогатили теорию механизмов новыми методами анализа и синтеза механизмов.

За несколько лет до выхода в свет классического труда Болла В. Клиффорд [48] дал интересное описание винтов с помощью комплексных чисел. Следует отметить, что в то время векторное исчисление только начало развиваться и еще не приобрело той простой формы, в какой оно излагается в настоящее время. К векторному исчислению подходили постепенно и притом разными путями. В частности, применялись особые числа — кватернионы, которые состоят из скаляра и еще трех чисел разной природы. С помощью кватерниона можно описать поворот твердого тела. Клиффорд ввел особый множитель со, квадрат которого равен нулю, и составил «бикватернион» — сумму из двух кватернионов, из которых второй умножается на га. С помощью биква-терниона можно описать винтовое перемещение тела, кватернион и бикватернион находятся в таком же соотношении, как вектор и винт. Клиффорд не развивал свой метод применительно к механике, он изучал геометрические вопросы, рассматривая биква-тернионы с множителем со и с единицами, квадрат которых равен + 1 или —1, что соответствовало евклидовой и неевклидовым геометриям.

29. Лагалли М. Векторное исчисление. Перевод с немецкого. ОНТИ, 1936.

58. К о ч и н М. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР, 1962. 426 с.

25. К о ч и н Н. Я.. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления, ОНТИ, Д1. — Л. 1937. (См. также [69].)

Векторное исчисление

Вектор-функции линейные 236 Векторная алгебра 226 Векторно-векторное произведение 229 Векторно-скалярное произведение 229 Векторное исчисление 226 — 234;

14. К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-во АН СССР, 1961.

Векторное исчисление