Векторного исчисления

Для определения скорости какой-либо точки Е, лежащей на оси звена ВС (рис. 4.17, а), имеем векторное уравнение

5°. Для определения скоростей и ускорений звеньев механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 5.3) составляем векторное уравнение замкнутости контура ABCD. Имеем

Проектируя это векторное уравнение на оси Ох и Од, получаем /2созфг--/зС08ф3 = Хс. а + /2 sin ф2 + /s sin Фа = 0. (5.28)

Т. В механизмах гидронасосов ротационного типа с вращающимися лопастями, а также в различных гидро- или пневмоприводах применяются механизмы с входным поршнем на' шатуне, скользящем в качающемся или вращающемся цилиндре Н, принадлежащем звену 4 (рис. 5.8). В этом механизме обобщенной координатой будет переменное расстояние ВС — s. Векторное уравнение замкнутости контура АВСА будет

Проектируя это векторное уравнение на оси координат, получаем

4°. Для гидравлического механизма с поршнем 3, скользящим в качающемся относительно звена 4 цилиндре // (рис. 5.10), векторное уравнение замкнутости контура ЛЕСА будет иметь вид

5°. На рис. 5.11 показан кулисный механизм, выходное звено 4 которого совершает движение по гармоническому закону. Векторное уравнение для контура ABDA будет у

6°. На рис. 5.12 изображен гидравлический или пневматиче^ ский кулисный механизм с поршнем 1 , скользящим в неподвижном цилиндре Н. Векторное уравнение замкнутости контура ABDA будет

Далее составляем векторное уравнение замкнутости контура ECGFE. Имеем

2°. Переходим к рассмотрению группы II класса второго вида (рис. 13.7, а). Эта группа имеет одну крайнюю поступательную пару В в осью х — х. На группу действуют внешние силы Fa и F3 и пары с моментом М2 и М3. Реакции в кинематических парах могут быть определены методом планов сил. Векторное уравнение равновесия всех сил, действующих на группу (рис. 13.7, а), имеет следующий вид:

Векторное уравнение равновесия сил, действующих на группу, имеет следующий вид:

Эта глава посвящена трем вопросам: динамике материальной точки, основы которой изучались в курсе физики средней школы, применению элементов математического анализа к физике и применению начал векторного исчисления, изложенных в гл. 2. Мы составим и решим уравнения движения для некоторых простых случаев, имеющих отношение к теории лабораторных работ по физике. Эти уравнения описывают движение заряженных частиц в однородных электрических и магнитных полях, т. е. явления, нашедшие исключительно широкое применение в экспериментальной физике. Глава заканчивается подробным анализом различных преобразований от одной системы отсчета к другой.

Пространство имеет три измерения: положение частицы или местонахождение любого события определяется тремя координатами х, у и г. У нас уже-имеется математический язык, а именно язык векторного исчисления, с помощью которого мы можем формулировать утверждения о соотношениях между точками или линиями в форме, не зависящей от любой конкретной системы координат. Можем ли мы построить аналогичный язык, который дайнам возможность выражать физические законы специальной теории относительности в форме, также не зависящей от системы отсчета? Если физические-

Тщательный сравнительный анализ различных аналитических методов позволяет сделать заключение о наибольшей эффективности векторного исчисления в кинематике механизмов (а также его обобщения — винтового исчисления для более сложных задач). Дальнейшее изложение механики машин будет основано на применении векторного метода, дающего возможность решать задачи кинематики механизмов в явной форме, что исключает необходимость решения алгебраических уравнений высоких степеней.

Предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями векторного исчисления, поэтому напомним лишь результаты, которые будут необходимы при дальнейшем изложении.

Вычислительный аппарат векторного исчисления. Конечной целью решения практических задач, в частности, анализа или синтеза (проектирования) механизмов, является числовое, а не символическое, представление параметров механизмов, поэтому от векторных обозначений необходимо перейти к числовым представлениям параметров. Наиболее просто векторы преобразуются к проекциям в прямоугольной декартовой системе координат, широко используемой в аналитической геометрии. Метод скалярных ортогональных проекций в сочетании с алгеброй чисел является предпочтительным математическим аппаратом векторного исчисления. Выбрав прямоугольную систему координат Oxyz, осям абсцисс, ординат и аппликат которой соответствуют орты I, j и к, представим произвольные векторы а, Ь, с и т. д. через их скалярные проекции

2.3. Силы, имеющие потенциал. Напомним некоторые понятия из векторного исчисления. Полем скалярным (векторным) называется пространство или часть его, если с каждой его точкой связано значение некоторого скаляра (вектора). Примером скалярного поля может служить температурное поле тела, а примером векторного поля — поле скоростей частиц воды в реке.

ничным вектором пто. Тогда измеряемая сила определяется по правилам векторного исчисления:

В 1895 г. опубликовано выдающееся сочинение А. П. Котель-никова [27], в котором впервые построено собственно винтовое исчисление. В этой работе использованы комплексные числа с множителем со, введенным Клиффордом, умножением на которые вектор преобразуется в винт. Главная заслуга Котельникова состоит в том, что он впервые в наиболее полном и ясном виде сформулировал «принцип перенесения». Котельникову путем, как он выразился, небольшой уловки, заключавшейся в преобразовании бикватерниона Клиффорда в кватернион с комплексными коэффициентами, удалось установить, что все формулы теории кватернионов суть «неразвернутые» формулы бикватер-нионов, т. е. установить тождественность формул для тех и других. Это, в свою очередь, привело к выводу, что все операции векторного исчисления превращаются в операции винтового исчисления, если в них все вещественные величины заменить комплексными с множителем со. Благодаря этому удалось одним уравнением заменить не три, как в векторном исчислении, а шесть скалярных уравнений, что придает большую компактность записи условий и решению многих задач.

Из краткого очерка о развитии винтового исчисления можно заключить, что это обобщение векторного исчисления, несмотря на достаточно длительный период его пребывания в «архиве», все же начало приобретать известность и находить применение в вопросах прикладной механики. Можно предполагать, что со временем его применение расширится, хотя возможно, что оно сосредоточится на вопросах механики твердого тела.

Аппарат векторного исчисления представляет пример прямого геометрического исчисления, так как всякое вычисление, основанное на представлении величин при помощи измеряемых и определенным образом ориентированных в пространстве отрезков или векторов, может быть истолковано как геометрическое [95].

Как показал А. П. Котельников [57], сложное пространственное перемещение тела, определяемое шестью параметрами, может быть отображено одним комплексным вектором специального вида — бивектором или винтом. Оперирование такими объектами приводит к значительному упрощению промежуточных операций при решении задач, связанных со сложным пространственным движением тел, поскольку на бивекторы и винты в соответствии с принципом перенесения А. П. Котельникова могут быть распространены все правила векторного исчисления.