Вероятность совместного

термодинамическая вероятность состояния системы растет. Но одновременно увеличивается и энтропия. Больцман (1872г.) доказал, что между термодинамической вероятностью и энтропией системы существует функциональная зависимость S = k(nP, где k — постоянная Больцмана.

где R- универсальная газовая постоянная; /Va - число Авогадро; W — вероятность состояния системы, возрастающая с увеличением хаотичности микросостояния системы.

Если в изолированной системе происходит самопроизвольный процесс и термодинамическое состояние меняется, это свидетельствует о том, что новое состояние реализуется большим количествам микросостояний, чем предыдущее макросостояние. А это означает, что в результате самопроизвольного процесса термодинамическая вероятность состояния системы растет. Но

Pi — вероятность состояния i. Для стационарного состояния будем иметь

Обозначим максимальный выходной эффект системы через ?0, а вероятность состояния ее полной работоспособности - через Я0. Остальные 2"-1 состояний системы перенумеруем в порядке убывания выходного эффекта. Каждое fc-е состояние системы характеризуется своим значением выходного эффекта Ek и своей вероятностью появления Hk. При таких обозначениях среднее значение выходного эффекта системы равняется

В общих чертах порядок расчета эффективности сложных систем кратковременного действия заключается в следующем: определяются назначение системы, ее функции и условия работы; выбирается приемлемая в данном случае количественная мера оценки качества функционирования системы; производится разбиение сложной системы на отдельные элементы; составляется функциональная схема системы; вычисляются показатели надежности элементов, характеризующие вероятность состояния каждого элемента; по формуле умножения вероятностей вычисляются вероятности всех возможных состояний системы на основании вероятностей состояния отдельных элементов (при условии независимости их отказов); оцениваются значения комплексных показателей надежности, характеризующих эффективность функционирования системы.

В обоих случаях вероятность состояния ЛУ к началу /-го межпроверочного промежутка зависит только от состояния Л('-1> к началу предыдущего промежутка и не меняется от любых дополнительных сведений о состоянии технологической системы к началу всех промежутков, предшествоваших (/ — 1)-му. Таким образом, перед нами марковская цепь с матрицей перехода ях, элементами которой являются prs в (5.11) или (5.12).

Следовательно, рассматриваемому граничному условию длагоприят-ствует вероятность состояния системы, когда совместно работают два участка: первый и второй и запав деталей во втором бункере возрастает.

Таким образом, рассматриваемому начальному условию благоприятствует вероятность состояния системы, когда первый участок находится в настройке после отказа, второй простаивает из-за отсутствия деталей в первом бункере, а третий участок работает за счет деталей второго бункера, запас которых уменьшается.

Если рассматривать АЛ непрерывного действия, то можно определить вероятность состояния < 00 > из условия полноты системы, которое. утверждает, что сумма вероятностей всех состояний системы равна единице.

Как видно из графиков рис. 3, с увеличением номинальной производительности первого участка (т.е. с увеличением dL ) разница в коэффициентах готовности 17Л , вычисленных по формулам работы [ij и формулам настоящей работы, увеличивается. Это объясняется тем, что при увеличении производительности участка, накопитель заделов быстрее достигает своего максимального значения ( ZmT2 ), и вероятность состояния Fio(Zmj, при прочих равных условиях, будет иметь большее значение. Таким образом, рост коэффлциента cL существенным образом сказывается жа-разницах в значениях коэффициента готовности 17/ , .вычисленных по формулам работы [ij и данным настоящей работы. Их максимальное отличие (порядка 7%) будет при достаточно большой ( ПЛ = 0,8 и 192 = 0,9) надежности участков АЛ, с(ч = 1,35 л малом бункерном запасе.

При решении практических задач приходится иметь дело с системой связанных между собой случайных величин. Тогда функцией распределения системы п случайных величин (Хг, Хг, ...,Хп) называется вероятность совместного выполнения и неравенства вида Х( <х,-:

Например, при постоянном (нагруженном) резервировании, когда резервные элементы -постоянно присоединены к основным и находятся в одинаковом с ними режиме работы (рис. 58, а), вероятность безотказной работы Р (/) системы может быть подсчитана следующим образом. Пусть рг; F2; ...; Fm — вероятности появления отказа каждого из элементов за время t — Т. Тогда отказ системы — это сложное событие, которое будет иметь место при условии отказа всех элементов; вероятность совместного появления всех отказов• F (t) (по теореме умножения) составит

где справа — вероятность совместного выполнения неравенств, стоящих в квадратных скобках; это совместное распределение называется конечномерным распределением случайной функции. Например, для совокупности Q профилограмм можно задать значения абсцисс хъ х% и х3 и рассматривать функцию трех переменных уг, г/2 и г/з. описывающую изменение частости того, что в И значения ординат профилограмм в точках хъ xz и xs совместно будут меньше переменных ylt уг и у3.

Выражение (5.39) определяет вероятность совместного события, когда в интервале А/ закончилось одно обслуживание (цД?). Суммируя выражения (5.38), (5.39) и деля на Д?, получим:

Рассмотрим вероятность совместного наступления двух зависимых случайных событий xf и Xj. Из теории вероятностей известно, что

Первая теорема умножения. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий (схема „и-и") равна произведению вероятностей этих событий:

где Р(АВ) = Р(к А и В) есть вероятность совместного появления событий А и В.

Вторая теорема умножения. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных;

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Первая теорема умножения вероятностей (независимых событий). Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вторая теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных: 14