Вероятностей разрушения

Ввиду отсутствия точной функции распределения окончания последовательной процедуры, в общем случае при симметричных порогах оправдано, как отмечается в [2], использование прямых методов расчета вероятности окончания испытаний. Один из таких инженерных методов определения вероятностей окончания последовательных испытаний (не только вальдовского типа) на заданном этапе рассмотрен в гл. 3 и 4. Для частного случая он позволяет получить точное аналитическое выражение для функции распределения вероятности окончания последовательных испытаний. В [39] получены аналитические выражения для указанных законов. Результаты [39] приведены в гл. 7.

Возможность получения точных значений выходных характеристик последовательных испытаний в свою очередь зависит от умения определять вероятности окончания испытаний. Поскольку функции распределения в общем случае для последовательной процедуры пока не получено, в работе [2] рекомендуется для определения вероятности окончания испытаний использовать прямые методы расчета. В [39] и гл. 7 получены аналитические выражения для определения точных значений функции распределения экспоненциальной и биноминальной процедур. Ниже приводятся методы определения точного значения дискретной функции распределения вероятности окончания последовательной процедуры для любого последовательного критерия при экспоненциальном и биномиальном законах распределения, основанные на предварительном определении вероятностей окончания испытаний нэ каждом этапе наблюдения, т.е. в данном случае после каждого дефекта или отказа.

Имея значения вероятностей Fi(k-^-c), можно найти выражение для определения вероятностей окончания испытаний при VKj(p= r). Условия завершения испытаний принятием решения о приеме при р = г состоят в следующем: 1) в достижении траекторией процесса внутри области неопределенности правой границы последнего интервала на участке (0,тг) в какой-либо точке k + с (правая граница в этом случае совпадает с величиной тг; 2) за пределами интервала (0,тг) первый, второй и последующие отказы произойдут соответственно в интервалах Tr,Tr_fc_e_1; ?i,Tr_fc_c; ...; ?г_1,тг_1, а в интервале ^Г1тг не произойдет ни одного отказа.

Найдем выражения для вероятностей окончания испытаний при р > S. Для этого воспользуемся последовательностью вычислений, использованной в разд. 3.1 для определения Wi(p = г) и W^p = г).

На рис. 4.3 показана блок-схема алгоритма программы определения параметров последовательных испытаний методом статистических испытаний для экспоненциального закона распределения наработки изделий. Входными данными в программе являются значения а, /3 и е. Программа предусматривает получение на выходе массива значений вероятностей окончания испытаний W\(_p = r-), W-^p = г) и W(p — г), средней продолжительности контроля, а также точных значений ошибок первого и второго рода, которые в дальнейшем будем обозначать в отличие от а и /? через а и Д.

Значения выходных параметров с помощью программы ПСИ можно определить для любых значений А. В программе предусмотрено определений вероятностей окончания испытаний для Л = АО и Л = AI, поскольку эти значения необходимы для определения а. и /3.

Сложность программирования определяется следующими обстоятельствами. Как следует из гл. 3, структура расчетных выражений для вероятностей окончания испытаний зависит как от значений входных величин, так и от числа этапов наблюдения. При этом с уменьшением а, /3 и с и увеличением числа этапов наблюдения (в данном случае величины г) сложность расчетных выражений возрастает лавинообразно. К тому же не удается получить и использовать какие-либо закономерности для записи расчетных выражений в общем виде. Это означает, что алгоритм расчета должен обладать в некотором смысле свойством самонастройки, т.е. в процессе расчетов позволять автоматически конструировать сами расчетные выражения.

На рис. 4.4 приведена упрощенная блок-схема программы ni/l3(W) определения параметров последовательных испытаний расчетным путем при экспоненциальном законе. В программе можно выделить четыре категории величин. Это, прежде всего, величины, которые встречаются в исходных расчетных выражениях: вероятности окончания испытаний W\[p ~ г), W^{p = г) и W(p < г), представленные в программе как массивы данных соответственно Wl[r], W2[r] и W[r]; значения интеграла /(а); вероятности /(а) и F(p}, использованные в выражениях (3.8)-(3.14), представленные массивами данных f[p] и F[p]. Значения вероятностей окончания испытаний сохраняются в памяти ЭВМ до конца счета, так как поступают на запись, в то время как значения f[p] и -F[p] хранятся в памяти лишь в пределах одного интервала.

На рис. 4.9 приведена общая блок-схема алгоритма программы определения параметров последовательных испытаний при экспоненциальном законе П1/1Э (W). В блок-схеме программы сохранены все операции, связанные с определением величин вероятностей окончания испытаний Wl[r], W2[r] и W[r], формированием всех вспомогательных и управляющих величин, за исключением величины "ф, определение кото-

На рис. 4.13 приведена блок-схема алгоритма определения параметров последовательных испытаний при биномиальном законе распределения доли дефектных изделий ПИБ (V). Входными данными программы являются значения R, р0, р\, W0, S, массивы оценочных уровней rnl[0:R] и m2[s:R]. В программе предусматривается определение массивов вероятностей окончания испытаний Vl[r], V2[r] и V[r], средних величин для количества проверенных образцов mcpl и тср2, точных значений ошибок первого и второго рода. В блок-схеме показаны все операторы, связанные с непосредственным вычислением вероятностей окончания испытаний и воздействием на процесс счета.

Вначале величине А присваивается значение, вычисленное по формуле (2.9), величине А — значение, равное АО. Определяются т_г и гг и с помощью ПИЭ (а,/?, е, W) рассчитываются значения вероятностей окончания испытаний, средней продолжительности тср(А), оперативной характеристики Q(A). Величине а присваивается значение, равное 1 — Q(A), определяется отклонение Да = а — а. Если абсолютная величина Да больше va (где v — множитель, характеризующий точ-

С увеличением длительности действия низкого напряжения (^ суммарная долговечность Z>?i на высоком уровне напряжения уменьшается. Особенно большой эффект наблюдается при малых вероятностях разрушения. Интересно, что для малых вероятностей разрушения при увеличении продолжительности действия низкого напряжения в 16 раз (/?i :/7г = 1 :20 и 1 :320) почти во столько же раз уменьшается число периодов нагружения при ал. Это значит, что у наиболее "слабых" образцов, у которых уровень нагружения о2 — 330 МПа близок к индивидуальным пределам .выносливости, накопление повреждений при программных нагружениях при этих режимах происходит в основном на низких уровнях напряжений. Высокие напряжения, продолжительность действия

На основании кривых распределения долговечности строят семейство кривых усталости для ряда вероятностей разрушения. Для этого целесообразно использовать вероятности, равные 0,01: 010' 0,30; 0,50; 0,70; 0,90 и 0,99.

6) наличие кривой усталости, построенной для различных вероятностей разрушения, необходимо для особо ответственных случаев, когда учитывают не среднюю, а минимальную их долговечность или в расчет принимают определенную вероятность разрушения.

Поэтому перенапряжение в соседних элементах существенно увеличивает вероятность разрушения в области перенапряжения длины 8 по сравнению с вероятностью разрушения элемента той же самой длины в однородном поле напряжения. Увеличенная вероятность разрушения может быть вычислена путем интегрирования вероятностей разрушения по области перенапряжения армирующего элемента. Теперь удобно считать, что это увеличение вероятности произошло в результате ^-кратного увеличения равномерного напряжения в области влияния. Для случая разрушения г соседних элементов коэффициенты КТ для упругой и пластичной матриц представляются соответственно выражениями

но, что прочность чистых стеклянных волокон реализуется редко, потому что поверхностные дефекты ухудшают свойства. Природа распределения прочности изучалась рядом исследователей, и в [60] обнаружено три типа дефектов в стеклянных волокнах диаметром в 10 мкм. Там также приведено несколько графиков вероятностей разрушения и обсуждено их соответствие различным функциям распределения. В разд. III, в котором представлена модель временного разрушения, принято, что распределение прочности •стеклянных волокон следует функции распределения Вейбул-ла [68], хотя некоторые исследователи и предпочитают распределение Гаусса.

Прочность при повторных нагрузках зависит от размеров образца или детали, уменьшаясь с увеличением последних. Однако, чем больше диаметр образца, тем меньше рассеяние долговечности. Поэтому пределы выносливости, определенные для малых вероятностей разрушения, на больших и малых образцах будут сближаться

квадранте координатами являются,(с?макс,Л?), а параметром кривых служит вероятность разрушения Р. Эти кривые йазываются также кривыми выносливости для различных вероятностей разрушения. Во втором квадранте координатами являются (омакс,Р) и параметром 7V. Кривые второго квадранта представляют собой распределение пределов усталости для различных баз. Кривые третьего квадранта строятся в координатах (Р, N) при* параметре стчакс и являются кривыми ' распределения долговечности при заданных уровнях напряжений. Любая из трех приведенных диаграмм позволяет построить две другие. На практике большее распространение получили

Вероятностная природа усталостного разрушения, зависящего от дефектов структуры и поверхности металла, отражается на закономерностях подобия при этих разрушениях. С увеличением напрягаемых переменными напряжениями объемов увеличивается вероятность ослабления сопротивления металла разрушению более значительными дефектами и их сочетанием, уменьшается предел усталости, ослабляется рассеяние. Влияние абсолютных размеров на усталостные свойства металла возрастает с увеличением его неоднородности, особенно сильно проявляясь на литых и крупнозернистых структурах. С уменьшением вероятности разрушения влияние абсолютных размеров ослабевает, так как в соответствии со статистическими представлениями рассеяние уменьшается с увеличением напрягаемых объемов, и кривые усталости для низких вероятностей разрушения при различных размерах сечений сближаются. При сложных напряженных состояниях усталостные разрушения для металлов в вязком состоянии в основном определяются максимальными или октаэдрическими касательными напряжениями, как это следует, например, из данных исследования усталости конструкционных сталей. Большинство результатов укладывается между предельными шестиугольником касательных напряжений и эллипсом октаэдрических. Для металлов в хрупком состоянии разрушения определяются главными растягивающими нормальными напряжениями, они располагаются ближе к предельному квадрату предельных нормальных напряжений. Форма усталостного излома при кручении для вязких металлов свидетельствует о зарождении усталостного разрушения по направлению действия наибольших касательных напряжений. Для хрупких металлов трещина возникает сразу в направлении действия наибольших нормальных напряжений. Развитие трещины обычно следует поверхностям наибольших нормальных напряжений. а Для усталостных раз- "*"' """ рушений имеет значение сочетание переменной и статической напряженности, характеризуемое асимметрией цикла, ко- -20 эффициент которой яв-

и больших вероятностей разрушения были испытаны десятки и сотни образцов на одном уровне напряжений. Такие испытания, как правило, проводили на серийных машинах повышенной надежности.

частности, при исследовании усталостных свойств материала с помощью регрессионного анализа устанавливают связь между нормально распределенной случайной величиной х = Ig /V и неслучайной у = ± а. , значения которой варьируются при проведении эксперимента. Эту связь записывают в виде линейного уравнения Y = = а + Ь (х — х) и называют уравнением эмпирической линии регрессии. При большом объеме испытаний на основании регрессионного анализа можно построить семейство кривых усталости для определенных фиксированных уровней вероятностей разрушения. Иногда при построении кривых усталости, соответствующих малым вероятностям разрушения, для одной и той же вероятности разрушения долговечность при более высоких напряжениях оказывается выше, чем при более низких: Это связано с тем, что в основу регрессивного метода положен нормальный закон распределения числа циклов до разрушения (Ig /V), тогда как лучшее распределение по этому закону имеет величина Ig (Л/ -> Л/„), где Л/„ — порог чувствительности по циклам.

В качестве примера на рис. 13 приведено семейство кривых коррозионной усталости различных вероятностей разрушения образцов титанового сплава ВТ14, построенных методом линейного регрессионного анализа с учетом порога чувствительности по циклам. Образцы испыта-