Вероятности разрушения

применение численных методов для решения подобных систем наталкивается на значительные трудности. Вместе с тем метод Монте-Карло позволяет справиться с возникающими сложностями без особых усилий. Например, наличие направленных свойств у коэффициента черноты е учитывается через плотность вероятности распределения, по которому случайным образом генерируется угол 0 для направления распространения порции излучения. В процессе моделирования фиксируют число актов поглощения, и после его окончания находят

Наблюдение за изнашиванием одноименных деталей одной партии в одинаковых машинах показало, что износ деталей носит ярко выраженный случайный характер, обусловленный вероятностной природой контакта шероховатых поверхностей, разбросом свойств конструкционных и смазочных материалов в пределах норм технических условий и размеров деталей в пределах допусков на изготовление, широким спектром эксплуатационных нагрузок, скоростей, условий работы (колебания мощности машины, сопротивления рабочей среды, рельеф дороги и т.п.). Поэтому наиболее характерен случай, когда плотность вероятности распределения скорости изнашивания /(у) подчиняется нормальному закону. В этом случае срок службы Т пары трения при предельно допустимом износе [U] является функцией случайного аргумента у, т.е.

Пусть теперь случайная величина является трехмерным вектором, например, вектором-радиусом некоторой точки звена, совершающего пространственное движение, и пусть этот вектор q,- отображается тремя проекциями qn, qi2 и qi3 на оси прямоугольной декартовой системы координат. Если плотность вероятности распределения величин проекций подчиняется закону Гаусса, то плотность распределения вероятностей в канонической форме

Шаг 9. Строится кривая субъективной вероятности распределения знаний об интенсивности действия фактора (рисунок 1).

Если заданы плотности распределения собственных частот подсистем I и II — Ф1(Ю и ф2 () и модули динамических податливостей в окрестностях этих частот можно представить в виде симметричных функций % (jco — — coil) и яэа (со — со2 [), то вероятность, что ja12 623 > , определяется интегрированием совместной плотности вероятности распределения собственных частота)! и со 2 по области, в которой они удовлетворяют неравенству % (1со — со 1 ) фа (со — со 2 ) < ?:

Рассмотрим процесс увеличения напряжения на интегрирующей емкости в схеме на рис. 1, б. Пусть на Л и С поступают возбуждаемые радиоактивным источником импульсы, стандартизованные по амплитуде и длительности. Импульсы статистически распределены во времени по закону Пуассона. Если среднее время между двумя последовательными импульсами равно Т, то плотность вероятности распределения величины Т равна

где Р(СГ)- плотность вероятности распределения Сг .

Первый способ. Он основан на физическом смысле случайных величин, подлежащих генерации. Плотность вероятности распределения Релея

можно рассматривать как плотность вероятности распределения

Рис. 3.12. Эмпирический полигон распределения размеров при обработке деталей на токарном автомате (сплошная линия) и аппроксимирующая его кривая плотности вероятности распределения Гаусса (штриховая линия)

/ — плотность вероятности гауссова распределения; 2 — плотность вероятности распределения с линейной функцией a (t) при Яд = 24; 3 — эмпирический полигон распределения

ров (рассеивание характеристик прочности материалов, влияние региональных и климатических условий и т. п.) заставляют при определении долговечности прибегать к методам теории вероятности и математической статистики. Вследствие этого теория не дает однозначного ответа на вопрос об ожидаемой долговечности, ограничиваясь установлением функциональных зависимостей вероятности разрушения от продолжительности и режимов эксплуатации (рис. 4). Теория может только установить, что вероятная продолжительность работы машины на данном режиме будет равна, скажем, 8, 12 и 18 тыс. ч. при вероятности разрушения соответственно 90, 80 и 60%, или установить вероятное число остающихся в эксплуатации машин (процент выживания) после определенных периодов работы.

Рис. 16.12. Зависимость вероятности разрушения Q и квантали Up от коэффициента запаса п и коэффициентов вариации У„ и v_0 (значения и0 обозначены на кривых)

При построении вероятностных моделей отказов (см. например [30]) экспериментальные данные по долговечности элементов представляются эмпирическими функциями распределения (ЭФР) как зависимости вероятности разрушения образцов от времени, числа нагружений и т.д. Приведенные ЭФР являются ступенчатыми функциями, для которых, строго говоря, неприменим традиционный аппарат дифференцирования. Однако, физический смысл эмпирической информации (накопление повреждений, приводящих к разрушению образцов) и схожесть графического представления позволяет сделать вывод, что данные графики можно с уверенностью отнести к типу "чертова лестница" [4] и анализировать эти явления с учетом мультифрактального характера процесса разрушения материалов (рисунок 2.24).

3) увеличение вероятности появления опасных дефектов и перенапряженных зерен, что в связи со статистической природой процесса усталостного разрушения приводит к увеличению вероятности разрушения - статистический факт.

При построении вероятностных моделей отказов (см..например,[30]) экспериментальные данные по долговечности элементов представляются эмпирическими функциями распределения (ЭФР) как зависимости вероятности разрушения образцов от времени, числа нагружений и т.д. Приведенные ЭФР являются ступенчатыми функциями, для которых, строго говоря, неприменим традиционный аппарат дифференцирования. Однако физический смысл эмпирической информации (накопление повреждений, приводящих к разрушению образцов) и схожесть графического представления позволяет сделать вывод, что данные графики можно с уверенностью отнести к типу "чертова лестница" [4] и

Существенное влияние на особенности разрушения материалов с покрытиями и на характеристики контактной усталости оказывают условия деформирования, толщина покрытий и другие факторы. Для электролитических покрытий, по данным В. С. Калмуцкого/количество таких факторов достигает 15. Для газотермических покрытий их, вероятно, значительно больше. В. С. Калмуцкий предлагает решать задачу повышения контактной прочности металлов с покрытиями с учетом вероятностно-статистического характера реальных условий получения и нагружения покрытий [53, 54, 75, 76]. Оптимизация условий формирования и последующих обработок некоторых электролитических покрытий позволила повысить ресурс покрытий при контактном нагружении на 15—20%. Работоспособность деталей с покрытиями оценивалась по вероятности разрушения композиции «сталь — покрытие» или покрытия при Заданном уровне контактного нагружения.

Рис. 91. Распределение циклической долговечности и вероятности разрушения Р без учета (кривая 1) и с учетом порога чувствительности Л/О5 (кривая 2)

Распределения циклической долговечности x=lg/V/, показанное на рис. 91, свидетельствует о близком к нормальному распределению Ig/V/ и о существовании при малых долговечностях "порога чувствительности по циклам" Nos титана: по мере уменьшения вероятности разрушения Р экспериментальные точки отклоняются от прямой и располагаются на некоторой кривой, приближающейся к вертикали. Согласно методике, принятой для определения величины порога чувствительности, можно принять для данного случая Nos = 3-104. При числе циклов менее Nos вероятность поломки ничтожно мала и ее следует считать невозможной. Закон распределения величины xt = \g(N/—Nos) описывается нормальной функцией гораздо лучше, чем х = Ig/V/.

Для получения достоверных сведений по усталостной прочности титановых сплавов конкретной структуры необходима количественная оценка разброса результатов циклических испытаний. При этом предел выносливости определяют с заданной вероятностью неразрушения, т.е. оценивают его надежность/Уже первые статистические обработки результатов усталостных испытаний титановых сплавов показали высокие значения коэффициента вариации условного предела выносливости [96— 98]. Учитывая большой разброс, наиболее правильно для анализа усталостных свойств титановых сплавов применять методы математической статистики и теории вероятности. Для этого строят полные вероятностные диаграммы, например по системе, предложенной Институтом машиностроения АН СССР [ 99, 100]. Эта система основана ра разделении процесса усталостного разрушения на две стадии: до появления макротрещины и развитие трещины до разделения образца на части. При анализе предела выносливости гладких образцов это разделение не имеет принципиального значения, так как долговечность до появления трещины Nt и общая долговечность до разрушение.образца Л/р близки. Часто для построения полных вероятностных диаграмм усталости за основу берут наиболее простой метод, предложенный В. Вейбуллом [101; 102, с. 58— 64]. Для построения полной вероятностной кривой необходимо испытать достаточно большие партии образцов (30—70 шт.) на нескольких уровнях амплитуды напряжений, которые должны быть выше предела выносливости (см., например, рис. 92). На каждом из этих уровней по гистограмме определяют вероятность разрушения при данной амплитуде напряжений. Далее строят кривую Веллера по средним значениям долговечности. По гистограммам строят кривые равной вероятности в тех же координатах (аа — Ig/V). Затем строят семейство кривых, определяющих не только зависимость долговечности от амплитуды-напряжений, но и вероятности разрушения от заданных амплитуды напряжений и долговечности. Далее, принимая математическую форму распределения вероятности, на данном уровне напряжений можно строить кривые зависимости либо от амплитуды напряжений при заданной базе испытаний /V,

10-32 мм по 15-30 шт. в серии), что позволило провести статистическую обработку результатов, построить полную вероятностную диаграмму усталости для образцов диаметром 8 мм и установить закон распределения предела выносливости. Использование этого уравнения позволило определить, как распределяется предел выносливости при Л/= 107 цикл для образцов диаметром 10, 20 и 32 мм и при меньшем количестве образцов в серии (см. рис. 97). Анализ полученных результатов показывает, что у образцов разных диаметров, испытанных на воздухе и в коррозионной среде, пределы выносливости, соответствующие малой вероятности разрушения (Р=2 %), отличаются несущественно, т.е. нижняя граница разброса пределов выносливости сплава практически одна и та же у больших и малых образцов. С увеличением вероятности разрушения влияние масштабного эффекта на усталостную прочность увеличивается, наблюдается затухание масштабного эффекта с ростом диаметра образцов (см. рис. 96). В этом можно видеть статистическую природу влияния сечения испытываемого образца [105]. Для титана характерно отсутствие инверсии масштабного эффекта в корро-хзионной среде, что очень важно при прогнозировании изменения предела выносливости при увеличении сечения деталей не только на воздухе.

Рис. 97. Зависимость вероятности разрушения ' Р образцов на воздухе (7) и в 3 %-ном растворе NaCI (2) от амплитуды циклических напряжений ста и диаметра образца: