Вероятности случайной

1. Энтропия. По определению в теории вероятностей (стр. 321) полной системой событий Аь Аг, ... Ап называют совокупность событий, обладающую тем свойством, что при каждом испытании обязательно наступает одно и только одно из них. Если обозначить вероятности случайных событий Л,- через/»(А,-)=р/,

Пример 4.28. Пусть совместная плотность вероятности случайных величин TI и Т2 равна

Двумерное нормальное распределение. Определение. Если совместная плотность вероятности случайных величин ^i и Х2 задается в виде

и TI, Г2 — две случайные величины, подчиняющиеся этому закону распределения. Полагая Y\ = Т\ + Т2 и У2 = Т2/(Т\ + Т2), найдем совместную плотность вероятности случайных величин У! и У2.

Рассмотрим определение характеристик для одномерного объекта, когда плотность вероятности случайных переменных х и у и их совместное распределение нормальны:

Утечка по уплотнению в соответствии с уравнениями (29) и (31) пропорциональна его периметру и снижается до минимума при контактном давлении рк ~>Ркт\а- Дальнейшее повышение рк не-^ходимо для обеспечения определенного избыточного давления, ,iO малоэффективно для герметизации различныхУдефектов: рисок, царапин, раковин, срезов, колец, посторонних включений. Чтобы исключить влияние этих случайных факторов, ширина уплотнения / должна превосходить определенный минимум, достаточный для перекрытия длины возможных дефектов. Для достижения абсолютной герметичности необходимо, проектируя и изготовляя агрегат, добиваться исключения вероятности случайных дефектов за счет: 1) минимального периметра уплотнений В; 2) оптимальной обработки уплотняемых поверхностей; 3) тщательного контроля за возможными дефектами, чистотой сборки, предотвращением повреждений уплотнений при сборке (срезы резиновых уплотнений и т. д.); 4) обеспечения контактного давления рк mln во всех режимах работы в течение всего срока эксплуатации.

плотность вероятности двух процессов р (\, у, tlt t2) характеризует степень стати-тцческой связи двух процессов, степень согласованности и характер их поведения „о сремеШ- В теории исследуются и многомерные плотности вероятности случайных процессов, однако на практике ограничиваются двумерными характеристиками, В0зможносги которых в представлении свойств случайных процессов достаточно велики.

где f (х, х) — совметная плотность распределения вероятности случайных стационарных функций.

В работах [4, 7] показано, что деформация разрушения вязких материалов при одинаковых условиях нагружения распределена по закону, близкому к нормальному. Это же относится и к необходимой пластичности. Следовательно, плотности вероятности случайных величин ё'о и епр (при ri = const епр(г)— случайная величина) соответственно могут быть представлены в виде

Среднеквадратические отклонения оуцг и O(Q),- в полученных соотношениях рассматриваются только на t-том интервале, поэтому для упрощения записи в дальнейшем будем, опуская индекс i,~ писать ада, O(Q), Плотности вероятности случайных величин Qf и jRj можно записать в виде

Здесь / (а) представляет собой плотность вероятности случайных ординат процесса, которая с точностью до постоянного сомножителя равна плотности вероятности относительного числа пересечений процессом заданного уровня а, что равносильно совпадению функций-распределения числа пересечений и случайных ординат процесса [см. (4.7)].

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ случайной величины X — такая ф-ция р(эс) ^ 0, что вероятность неравенства а < X < Ь (при любых

из п упорядоченных наблюдений) параметра положения р распределения Вейбулла с известным параметром формы а. Этот подход представляется одним из наиболее приемлемых, в особел-ности применительно к композиционным материалам, поскольку, как было установлено, величина а обычно с приемлемым уровнем достоверности для конкретной проектной ситуации известна. Функция плотности вероятности случайной величины о", подчиняющейся распределению Вейбулла с параметром сдвига 0, параметром масштаба р и параметром формы а, имеет вид

Известно, что коэффициент эксцесса у плотности распределения вероятности случайной величины выражается через кумулянты плотности распределения следующим образом ['!]:

Плотность вероятности случайной величины, имеющей гауссово распределение, зависит от двух параметров а = М{Х\ и сг = У~Г) \Х\ и определяется по формуле

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной функции X (t) с достаточно гладкими реализациями является неограниченная последовательность n-мерных плотностей вероятности <р„ (xlt х%, . . ., хп, ti, . . ., tn). По известной n-мерной плотности вероятности случайной функции X (t) могут быть определены все плотности вероятности значений, меньших п. Так, если известна я-мерная плотность вероятности случайной функции X (t), то ее одномерная плотность равна

Если n-мерная плотность вероятности случайной функции X (t) гауссова, т. е.

Практическое использование исчерпывающей характеристики случайной функции X (t), т. е. ее n-мерной плотности вероятности, встречает большие трудности, связанные с необходимостью проведения большого числа экспериментов и большого объема вычислений. Поэтому для решения практических задач обычно используются числовые характеристики случайных функций: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Числовые характеристики случайных функций представляют собой функции тех же аргументов, что и случайная" функция, в отличие от характеристик случайных величин, которые представляют собой числа.

где t и х — средние значения времени безотказной работы ^ и времени выполнения ремонта xt. Несомненно, этот показатель весьма полезен, однако можно получить дополнительную информацию, зная плотность вероятности случайной величины у, равной

где to и tr представляют указанные выше комбинации: 1, 2 или 3. Затем рассматривается плотность вероятности случайной величины у. Расчет плотности вероятности основан на подборе данных в соответствии с определением используемой случайной величины у. В первом случае случайная величина имеет значение при описании готовности, если имеется информация об интервале времени, потребовавшемся для выполнения последнего ремонта. Во втором случае величина у будет полезна для оценки времени ремонта, если известно предшествующее время работы. Третья случайная величина у окажется полезной при оценке времени работы, если имеется информация о длительности всех предшествующих ремонтов.

Пример 4.26. Пусть плотность вероятности случайной величины X имеет вид

Пример 4.27. Пусть плотность вероятности случайной величины X имеет вид