Винтового комплекса

Тщательный сравнительный анализ различных аналитических методов позволяет сделать заключение о наибольшей эффективности векторного исчисления в кинематике механизмов (а также его обобщения — винтового исчисления для более сложных задач). Дальнейшее изложение механики машин будет основано на применении векторного метода, дающего возможность решать задачи кинематики механизмов в явной форме, что исключает необходимость решения алгебраических уравнений высоких степеней.

На базе развитой теории структуры советские ученые быстро развили и методы кинематического анализа механизмов. Каждому семейству, классу и виду механизмов, установленному разработанной классификацией, соответствовал свой метод кинематического и силового анализа. Кроме геометрического аппарата исследования, широкое применение получил аналитический аппарат, некоторые методы векторного и винтового исчисления и др. Можно утверждать, что к 50-м годам уже не встречалось никаких принципиальных трудностей в решении задач кинематического анализа плоских механизмов. Была создана стройная научная теория кинематического исследования, доступная самым широким кругам инженеров и конструкторов. На основе разработанных методов было произведено большое количество исследований кинематических свойств отдельных механизмов. Были выведены аналитические зависимости, характеризующие взаимосвязи между различными метрическими и кинематическими параметрами плоских и пространственных механизмов, разработаны графические и графо-аналитические приемы определения этих параметров, построены и рассчитаны графики, номограммы, атласы и таблицы. Все это позволило инженерам и конструкторам производить необходимый выбор того или иного механизма, с помощью которого можно было осуществить требуемое движение.

метрии, которые имели больше всего точек соприкосновения с теорией механизмов. Ему принадлежит ряд работ в области кинематической геометрии, он является одним из создателей так называемого винтового исчисления, явившегося мощным математическим орудием при исследовании пространственных стержневых механизмов.

Одной из основных задач в исследовании пространственных механизмов является задача анализа перемещений. Ей посвящено много работ, содержащих оригинальные методы решения. Среди них векторный метод В. А. Зиновьева, метод П. А. Лебедева [1], основанный на применении различных приемов аналитической геометрии, метод Ф. М. Диментберга, базирующийся на применении винтового исчисления, метод Д. Денавита и Р. Хартенберга, тензорный метод Д. Манжерона и К. Дрэгана и другие.

Книга посвящена применению общей теории винтов и винтового исчисления к задачам механики твердого тела и к теории пространственных механизмов.

В 1895 г. опубликовано выдающееся сочинение А. П. Котель-никова [27], в котором впервые построено собственно винтовое исчисление. В этой работе использованы комплексные числа с множителем со, введенным Клиффордом, умножением на которые вектор преобразуется в винт. Главная заслуга Котельникова состоит в том, что он впервые в наиболее полном и ясном виде сформулировал «принцип перенесения». Котельникову путем, как он выразился, небольшой уловки, заключавшейся в преобразовании бикватерниона Клиффорда в кватернион с комплексными коэффициентами, удалось установить, что все формулы теории кватернионов суть «неразвернутые» формулы бикватер-нионов, т. е. установить тождественность формул для тех и других. Это, в свою очередь, привело к выводу, что все операции векторного исчисления превращаются в операции винтового исчисления, если в них все вещественные величины заменить комплексными с множителем со. Благодаря этому удалось одним уравнением заменить не три, как в векторном исчислении, а шесть скалярных уравнений, что придает большую компактность записи условий и решению многих задач.

Вскоре после А. П. Котельникова (с 1897 г.) идеи винтового исчисления начал развивать Д. Н. Зейлигер, опубликовавший

в 1934 г. свою итоговую работу [21 ], в которой изложены результаты обширных исследований по линейчатой геометрии, полученные "методом винтового исчисления, а также показаны интересные приложения к кинематике твердого тела.

Применение винтового исчисления к теории линейчатых поверхностей и конгруенций показано в книге по дифференциальной геометрии [5], написанной учеником Штуди — В. Бляшке. Кроме того, описание и применение комплексных векторов дано в известной книге М. Лагалли [29]. В этих работах принцип перенесения интерпретируется как отображение линейчатого пространства на дуальную сферу единичного радиуса. Такая трактовка является несколько ограниченной и не раскрывает принцип в надлежащей мере.

В несколько ином направлении идеи винтового исчисления развиты учеником Штуди — известным немецким ученым Р. Ми-зесом, опубликовавшим в 1924 г. две статьи [53, 54], в которых излагается общая часть и приложения «моторного» исчисления. В этой работе за исходный образ принята совокупность двух прямых (мотор), эквивалентная винту, а затем введены шесть координат мотора и определены операции над моторами, выражаемые через координаты моторов, — скалярное и моторное умножение. Далее введены моторные диады и матрицы афинного преобразования. При этом обнаружена аналогия с векторными операциями. Однако принцип перенесения в работе Мизеса не был использован.

С 1947 г. начали появляться работы по применению винтового исчисления к технической механике (теории пространственных шарнирных механизмов, теории пространственных зубчатых зацеплений).

2. К о л ч и н Н. И. Метод винтового комплекса в теории пространственных зацеплений. Труды третьего совещания по основным проблемам! теории машин и механизмов. Машгиз, 1963.

Геометрически равенство (2) выражает условие касания в контактных точках заданной поверхности зубьев на одном из колес линий винтового комплекса относительного движения.

Поэтому метод Гохмана в этой интерпретации может быть назван м е-тодом дифференциального винтового комплекса, или методом касательных, в противоположность другому методу в теории пространственных зацеплений, называемому методом нормалей, который в общем случае при отсутствии в зацеплении так называемых осей зацепления является более громоздким.

Метод винтового комплекса был применен для исследования зацепления червячных передач с вогнутым профилем витков червяка, так называемых передач Нимана, именуемых в дальнейшем передачами ФРГ. Особенно ценным здесь оказался вариант этих передач с круговым профилем витков червяка в нормальном сечении, аналогично случаю винтовых зубьев в передачах Новикова, нарезаемых червячными фрезами, запроектированными с исходным профилем, предложенным В. Н. Кудрявцевым. Выгода такого зацепления получается двойная (не говоря уже о повышенной

6.К о л ч и н Н. И. Методы винтового комплекса в теории пространственных зацеплений. Труды 3-го совещания по проблемам ТММ. Вып. 4. М.—Л., Машгиз, 1963.

В статье Н. И. Колчина изложен метод винтового комплекса в теории пространственных.зацеплений, рассмотрены его связь с методом Гохмана и применение к новым зацеплениям.

МЕТОД ВИНТОВОГО КОМПЛЕКСА В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЙ

Приведенные уравнения можно назвать винтовым дифференциальным комплексом или просто винтовым комплексом. Решение задачи о зацеплении сводится в этом случае к отбору на производящей поверхности только тех точек, касательные в которых являются одновременно касательными к линиям винтового комплекса/Поэтому весь метод может быть назван методом касательных к винтовому комплексу или просто методом винтового комплекса.

Два других направления, идущих в обхоц классического метода, основаны на теории винта относительного движения, используемой в явной форме. В этом случае, при отборе контактных точек, пользуются не касательными к линиям винтового комплекса, а их нормалями. Поэтому метод, использующий нормали винтового комплекса, может быть назван методом нормалей, или методом лучевого комплекса, поскольку нормали к винтовому комплексу носят название лучей.

При практическом использовании метода нормалей возникают известные усложнения, заключающиеся в том, что уравнение зацепления приходится записывать в виде не одного, а двух равенств, выражающих условия прохождения нормали в контактной точке через две прямые, сопряженные с винтом относительного движения или с его полярами. Только при выполнении этих условий нормаль к поверхности будет лучом винтового комплекса, проходящим через контактную точку.

Для обоснования метода винтового комплекса в аналитической теории пространственных зацеплений в данной статье также исполь-