Закритического деформирования

Здесь же отметим, что само явление потери устойчивости и закритическое поведение в одних случаях могут иметь квазистатическую, а в других — явно динамическую природу.

Далее рассматриваются закритическое поведение систем и практические аспекты расчета стержня как наиболее простой конструкции на устойчивость. Завершается параграф обсуждением критерия начальных несовершенств.

Здесь было рассмотрено закритическое поведение сжатого консольного стержня. Аналогично решается задача и при других закреплениях концов.

7.2. Полная потенциальная энергия в окрестности точки бифуркации. Отметим еще раз, что тип неустойчивости первоначального равновесия идеальной системы определялся путем анализа ее закритического поведения при больших перемещениях. Однако рассмотрение рис. 18.72 показывает определенную связь типа неустойчивости с типом точки бифуркации. Это позволяет предположить, что закритическое поведение системы может быть предсказано на основе ее изучения при одной только критической нагрузке. Понятно, что для этого необходим нелинейный подход, поскольку линейный анализ первоначального равновесия не обнаруживает ни типа неустойчивости, ни типа точки бифуркации (см. разделы 2 и 6.3)').

') Такое исследование, упрощенное изложение которого дается ниже-проведено В. Койтером (см. К о и т е р В. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем. — В периодическом сб. переводов «Механика». — М.; ИЛ, 1960, № 4)..

8. Примеры систем, теряющих устойчивость с перескоком. Если идеальная система такова, что ее критическая точка является точкой бифуркации и закритическое поведение описывается нисходящей кривой, т. е. характеризуется условием

Воспользуемся приближенным энергетическим приемом решения, позволяющим исследовать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня, если для него известно решение линейной задачи. При этом ограничимся малыми по сравнению с длиной стержня прогибами, поскольку только они представляют интерес в силовых конструкциях.

Схему расчета поясним на двух примерах. Рассмотрим вначале закритическое поведение шарнирно-опертого стержня постоянного поперечного сечения, сжатого одной силой Р. Первая собственная функция линеаризованной задачи известна

Рассмотрим закритическое поведение изображенного на рис. 3.28 стержня, теряющего устойчивость под действием собственного веса. Критическая нагрузка для такого стержня равна

Характер критической точки бифуркации такой же, как и в случае потери устойчивости оси стержня без растяжения. Но количественно закритическое поведение стержня иное: после потери устойчивости поперечные прогибы растут не так быстро, как при потере устойчивости стержня без растяжения оси.

§ 30. Закритическое поведение пластин

Для выяснения деталей закритического поведения идеальной системы обратимся к соотношению (18.142). В критическом состоянии, когда РО = Pt, ? = 0. Это значит, что процесс закритического деформирования начинается с бесконечно малого поворота стойки вокруг точки L, лежащей на оси стержня /. В этот момент стержень / не деформируется, а стержень 2 догружается. По мере увеличения нагрузки нейтральная ось смещается вправо, т. е. стержень / разгружается, а стержень 2 догружается. В пределе, когда Р = РГ, положение нейтральной оси определяется условием ? = v/(l +v). Если, удерживая стойку в вертикальном положении, довести нагрузку до уровня Р; < Р0 < Р'Г, а затем связь удалить, то траектория закритического деформирования будет иметь вид кривой BE на рис. 18.84, а. С ростом наклона стойки растет и параметр ?: ^ ? < v/(l-f-v), где 0< (см. рис. 18.82, а). При Р = Р*Г равновесие с на-

Подсчитывая с использованием (3.53) изменение полной потенциальной энергии стержня, приходим к простой алгебраической зависимости ДЭ = ДЭ (сг). Таким образом, используя метод Рэ-лея — Ритца, задачу исследования закритического деформирования стержня можно свести к задаче исследования нелинейной системы с одной степенью свободы.

С помощью линеаризованных уравнений и энергетического критерия исследуют устойчивость плоского напряженного состояния тонких упругих пластин. Но ни линеаризованные уравнения, ни энергетический критерий устойчивости (в какой бы форме он не был записан) не дают непосредственной информации о том, как будет деформироваться пластина после потери устойчивости. Для описания закритического деформирования необходимо решить задачу изгиба пластины в нелинейной постановке.

(рис. 8.13, а). Для идеально правильной оболочки с помощью линеаризованных уравнений устойчивости может быть найдено критическое значение давления (точка бифуркации Вг на рис. 8.13, б). Чтобы выяснить, как будет вести себя оболочка после потери устойчивости, необходимо рассмотреть задачу в нелинейной постановке, как это было проделано в § 7.4 при исследовании закритического деформирования стержней и пластин. Для оболочки идеально правильной формы полученная в результате решения нелинейной задачи зависимость нагрузка—прогиб имеет вид кривой ВгВ^В. (Такое решение, конечно, удается получить только с помощью того или иного приближенного метода.) Эта зависимость качественно отличается от зависимостей нагрузка—прогиб, полученных в § 7.4 для сжатых стержней и пластин.

Тонкостенные конструкции типа пластин и оболочек широко применяют в современной технике — авиаци'и, судостроении, строительстве. Задачи статистической динамики таких конструкций связаны с проблемой устойчивости равновесных форм и закритического деформирования. Исследование случайных колебаний оболочек в закритической стадии может быть выполнено, например, путем линеаризации исходных уравнений движения в окрестности «прощелкнутого» состояния. При этом динамическое поведение конструкций существенно зависит от статистических характеристик закритических деформаций.

Как известно^ на устойчивость тонких оболочек и их закрити-ческое поведение решающее влияние оказывают начальные неправильности геометрической формы и несовершенство способов закрепления. Начальные неправильности тонкостенных конструкций обусловлены в основном технологическими причинами и имеют, как правило, случайный характер. В общем случае отклонения от идеальной формы представляют собой пространственные случайные поля. Функции, характеризующие поведение конструкций при нагружении, также являются случайными. Таким образом, при изучении потери устойчивости и закритического деформирования тонкостенных конструкций необходима стохастическая постановка задач. При этом в исходных уравнениях должны учитываться геометрические нелинейности тонкостенных элементов, приобретающие существенное значение после потери устойчивости. Рассмотрим в качестве примера задачу о закритических деформй-циях неидеальной сферической оболочки при всестороннем равномерном сжатии. Для описания деформированной поверхности воспользуемся нелинейными уравнениями теории оболочек типа Маргерра — Власова:

Метод интегральных спектральных представлений случайных полей дает удовлетворительное описание процессов потери устойчивости и закритического деформирования неидеальных оболочек при определенных ограничениях. К этим ограничениям относится, прежде всего, предположение о слабом влиянии краевых условий на поведение цилиндрических оболочек средней длины, панелей, опирающихся на жесткий контур, и других тонкостенных конструкций с различными способами закрепления. Решение соответствующих задач строят обычно в форме разложения по некоторой системе базисных функций, удовлетворяющих условиям на кромках, с удерживанием конечного не слишком большого числа членов. Упругую оболочку заменяют таким образом дискретной системой, свойства которой характеризуются коэффициентами разложения функций прогибов, напряжений, деформаций.

9.6. Экстремальные и вариационные принципы механики устойчивого закритического деформирования.........214

10.2. Устойчивость закритического деформирования в опытах на изгиб. Высокотемпературные испытания циркониевой керамики .......................226

11.2. Устойчивость закритического деформирования элементов структуры слоистых композитов............249

11.5. Напряженно-деформированные состояния волокнистых композитов на стадии закритического деформирования матрицы .......................261