Закритическом состоянии

критерий и метод, а также три типа информации, могущие интересовать исследователя устойчивости: опасный уровень воздействия на систему, состояние (в частности, форма с точностью до постоянного множителя), характеризующее систему непосредственно после потери устойчивости первоначальной формы равновесия, и, наконец, полное описание закритического поведения системы. Коснемся всех шести упомянутых понятий и объектов, в результате чего уточнится роль нелинейной постановки проблемы и аппарата динамики.

7.2. Полная потенциальная энергия в окрестности точки бифуркации. Отметим еще раз, что тип неустойчивости первоначального равновесия идеальной системы определялся путем анализа ее закритического поведения при больших перемещениях. Однако рассмотрение рис. 18.72 показывает определенную связь типа неустойчивости с типом точки бифуркации. Это позволяет предположить, что закритическое поведение системы может быть предсказано на основе ее изучения при одной только критической нагрузке. Понятно, что для этого необходим нелинейный подход, поскольку линейный анализ первоначального равновесия не обнаруживает ни типа неустойчивости, ни типа точки бифуркации (см. разделы 2 и 6.3)').

(рис. 18.78,6). Если Ф* — та форма вмятины, которая дает наименьшую равновесную нагрузку для данного /, то с ростом / значение Ф* увеличивается. Кривая закритического поведения оболочки получается как огибающая равновесных кривых для разных •& (рис. 18.78,в); при этом развитие закритической деформации сопровождается ростом вмятин вдоль направляющей поверхности.

Для выяснения деталей закритического поведения идеальной системы обратимся к соотношению (18.142). В критическом состоянии, когда РО = Pt, ? = 0. Это значит, что процесс закритического деформирования начинается с бесконечно малого поворота стойки вокруг точки L, лежащей на оси стержня /. В этот момент стержень / не деформируется, а стержень 2 догружается. По мере увеличения нагрузки нейтральная ось смещается вправо, т. е. стержень / разгружается, а стержень 2 догружается. В пределе, когда Р = РГ, положение нейтральной оси определяется условием ? = v/(l +v). Если, удерживая стойку в вертикальном положении, довести нагрузку до уровня Р; < Р0 < Р'Г, а затем связь удалить, то траектория закритического деформирования будет иметь вид кривой BE на рис. 18.84, а. С ростом наклона стойки растет и параметр ?: ^ ? < v/(l-f-v), где 0< (см. рис. 18.82, а). При Р = Р*Г равновесие с на-

В-третьих, при определении критических нагрузок и исследовании закритического поведения системы используем статический подход, не учитывая инерционные силы в системе, возникающие в процессе ее деформирования. Для консервативных систем такой статический подход к определению критических нагрузок всегда приводит к тем же результатам, что и более общий динамический подход [14, 40]. При исследовании закритического поведения статический подход дает возможность только найти устойчивые равновесные состояния, в которых может находиться система при определенном уровне нагружения, но не позволяет проследить во времени подробности закритического поведения системы после потери устойчивости (подробнее см. [181). Однако для подавляющего числа практических задач расчета силовых конструкций достаточно найти условия, при которых произойдет потеря устойчивости, и оценить закрити-ческое поведение конструкции, а эти цели могут быть достигнуты на основе статического подхода.

Вторым доводом в пользу изложенной выше механической трактовки энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко служит то обстоятельство, что перемещения uz, vz, к>2 могут быть использованы для приближенного описания закритического поведения упругих систем.

Цель этой главы показать не специфику задач устойчивости стержней, а то общее, что присуще всем задачам устойчивости тонкостенных упругих систем. Именно с этих позиций следует рассматривать подробный вывод основного линеаризованного уравнения четвертого порядка, детальное описание смены форм потери устойчивости стержня на упругом основании и на упругих опорах, анализ влияния сдвиговых деформаций на критическую нагрузку и приближенное исследование закритического поведения стержней.

Как и для сжатого стержня (см. § 17), для пластины возможны два основных качественно различных случая закритического поведения. Если закрепления контура пластины не препятствуют ее чисто изгибной деформации, т. е. деформации без удлинений и сдвигов срединной плоскости (рис. 5.7, а), то после потери

устойчивости поведение пластины будет таким же, как и поведение стержня с незакрепленными относительно продольных смещений торцами. Критическая точка бифуркации А г будет точкой бифуркации первого типа (рис. 5.7, б). После потери устойчивости происходит такой быстрый рост поперечных прогибов и изгиб-ных напряжений, что потерю устойчивости пластины практически можно считать потерей ее несущей способности. Количественные оценки прогибов и напряжений при закритическом деформировании пластины можно получить таким же путем, каким это сделано для стержня. Но если для стержней этот случай закритического поведения основной, то для тонкой пластины, являющейся элементом силовой конструкции, этот случай — исключительный.

Поскольку в зависимости (5.86) все функции w± (x, у), ы2 (*»• У), и2 (х, у), Ф2 (х, у) считаем известными из решения линейной задачи устойчивости пластины, закритическое деформирование пластины в окрестностях критической точки бифуркации определяется только параметром са. Таким образом, с помощью приближенного решения задача исследования закритического поведения пластины сводится к элементарной нелинейной задаче для системы с одной степенью свободы (см. гл. 1).

Рассмотрим закритическое поведение кругового кольца. Выше определены критические точки бифуркации исходной формы равновесия кругового кольца при нескольких случаях его нагруже-ния. Более детальное изучение закритического поведения кольца в окрестности критической точки бифуркации показывает, что при потере устойчивости кольцо ведет себя подобно сжатому стержню, продольные перемещения которого не стеснены (см. § 17). Следовательно, критическая точка бифуркации кольца Аг оказывается точкой бифуркации первого типа, а малейшее превышение критической нагрузки приводит к резкому нарастанию прогибов кольца (рис. 6.8). Если имеется несколько дополнительных жестких опор, препятствующих перемещениям кольца, то его поведение после потери устойчивости будет иным. В том случае, когда число опор четное и они равномерно распределены по окружности кольца, критическое значение гидростатической внешней нагрузки определяется по следующей формуле (в случае нечетного числа опор нельзя пользоваться полученным выше решением для незакрепленного кольца):

т.е. чтобы остановить трещину, надо успеть снизить нагрузку. Однако скорость трещины в закритическом состоянии настолько велика, что при испытании образцов снять нагрузку до полного разрушения образца практически не удается (поскольку машина обладает некоторой податливостью). Кроме того, даже при полностью удаленной нагрузке трещина может продолжать расти от наличия упругой энергии в самом образце, так как для того, чтобы разгрузить образец полностью во всех его точках, требуется известное время.

Воспользуемся полученным условием (42.8) для установления кинематических характеристик распространяющейся трешины в закритическом состоянии. В этом случае в (42.8) интеграл по S - S0 следует брать от /0 до 1(1). Закон движения концов трешины подлежит определению в процессе решения задачи.

внешнего напряжения, которое определяется формулой Гриффитса р-=2уЕ/л/о. Требуется установить кинематические характеристики распространяющейся трещины в закритическом состоянии.

В неограниченной пластинке, подверженной действию одноосного растяжения напряжением 0 на бесконечности, распространяется трешина (у=0,I х! < /) в закритическом состоянии. В критический момент напряжение ст - о0 длина трещины 21 = 2/. Требуется определить закон изменения напряжения, при котором конец трещины из критического положения х(0) = /о (в момент времени t = 0) перейдет в заданное положение x(ti) = /i (в момент времени t = ti), где и остановится. В качестве управления принимаем искомое напряжение, симметрично ограниченной в пределах I о0 ? сь Коней трещины считаем некоторой квазичастицей - креконом [171], масса то которого здесь принята постоянной. Примем также в этом примере, что сила, действующая на крекон, пропорциональна напряжению, т.е. G = F0a Таким образом, записав для крекона первый закон движения Ньютона можно решать вопросы роста трещины. Закон движения крекона

Поставим следующую задачу. Дана растягиваемая полоса конечной ширины в с одной краевой трещиной длины 1а . Растягивающие напряжения приложены на бесконечности и равны критическим в момент времени t = 0. Следовательно, при t > 0 трещина будет расти в закритическом состоянии при постоянном напряжении, вплоть до момента времени t = ti, при котором трешина пересечет весь образец. При 0 < t < ti соответственно имеем /о < / < в.

Однако имеется отличие, состоящее в гом, что новая форма равновесия, возникающая в точке бифуркации, не является смежной с первоначальной формой и от первоначальной формы равновесия к новой форме система приходит посредством скачка. Это так называемая потеря устойчивости с прощел-киванием. О ней кратко говорилось выше и говорится подробно в § 18.4. Здесь, однако, отметим, что зависимость между р и ф в закритическом состоянии характеризуется графиком, показанным на рис. 18.18, в.

формы равновесия. Во многих случаях без анализа закритиче-ского состояния можно считать, отклоняясь от истины в запас надежности, что в закритическом состоянии несущая способность элемента равна значению критической нагрузки. Действительно, рассматривая, рис. 18.9, убеждаемся, что даже при tp = 40° превышение нагрузки, которую способна нести система, над критической составляет лишь 8,6%. Правда, иногда напряжения в закритическом состоянии пластины обшивки могут значительно превосходить их критическое значение. В таких случаях, разумеется, требуется изучать закритическое состояние на основе нелинейного аппарата.

Рис. 18.47. Очертание изогнутой оси стержня в закритическом состоянии: а) при шарнирном закреплении концов; б) при защемленных концах.

Таблица 1-4 Коррозионные потери и эффективность работы гальванических элементов в паре и закритическом состоянии

Неустойчивой называют трещину, когда в некотором объеме, окружающем трещину, нарушаются условия механического равновесия. При этом трещина распространяется и это распространение может происходить при постоянной нагрузке. Для тела в целом условия равновесия при наличии неустойчивой трещины могут сохраняться. В предельном состоянии равновесия для неустойчивой трещины соблюдается условие dP/dl
Воспользуемся полученным условием (42.8) для установления кинематических характеристик распространяющейся трешины в закритическом состоянии. В этом случае в (42.8) интеграл по S - S0 следует брать от /„ до 1(1). Закон движения концов трешины подлежит определению в процессе решения задачи.