Замкнутой цилиндрической

3) Корни комплексные с отрицательными (положительными) действительными частями. В этом случае, изображенном на рис. 1.13, а и рис. 1.13, б, фазовые кривые возмущенного движения напоминают винтовые линии, осью которых является замкнутая траектория.

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь яч?Йки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность.

Из всего многообразия динамических систем второго порядка полезно выделить системы, в которых может осуществляться периодическое изменение состояния системы. На фазовой плоскости периодическому движению соответствует замкнутая траектория. Если эта замкнутая траектория является одной из континуума вложенных одна в другую кривых, то мы имеем дело с консервативной системой. В такой системе период и амплитуда периодических колебаний зависят от начальных условий, а сама система является негрубой.

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированной, она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной.

Двигаясь по этим траекториям при значении С > 0, изображающая точка приближается к замкнутой траектории (3.5) изнутри, а при значениях С < 0 — снаружи. Следовательно, замкнутая траектория (3.5) представляет собой устойчивый предельный цикл. К этому результату можно также прийти, вычислив величину характеристического показателя h предельного цикла (3.5) по формуле (3.3). В рассматриваемом случае h = —2 < 0.

окрестности изолированной замкнутой траектории, неограни-ченно приближаются к ней, то такая замкнутая траектория называется устойчивым предельным циклом (кривая, показанная пунктиром на рис. 57, а). Неустойчивым предельным циклом называется изолированная замкнутая фазовая траектория, от которой удаляются все расположенные в ее окрестности другие фазовые траектории (кривая, показанная пунктиром па рис. 57,6). Возможен также случай, когда фазовые траектории по одну сторону предельного цикла приближаются к нему, а по другую отходят.

Предельные циклы. Замкнутая траектория, к которой асимптотически Приближаются при t ->- оо все фазовые траектории, находящиеся в окрестности этой кривой, называется устойчивым предельным циклом (рис. 6). Устойчивые предельные циклы являются математическими образами автоколебаний.

О — осевой; Р — радиальный; Р-О — радиально-осевой; а — замкнутая траектория; б — незамкнутая траектория.

Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем.На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К. не было особых точек. На границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области К. существует по крайней мере одна замкнутая траектория,

устойчивая (неустойчивая) замкнутая траектория. При практическом использовании принципа кольца возникают трудности, связанные с выбором кольцеобразных областей. Часто выделяют замкнутые области К. с помощью систем кривых F (х, у) = с. Изучая поведение вектора скорости изображающей точки на этих кривых, т. е. поведение производной функции

области К (г% «ё х2 -)- w2 =s? г?) существует: 1) устойчивый предельный цикл (устойчивая замкнутая траектория) системы (163), если выражение хР + vQ неотрицательно для х2 + у3 = rg, неположительно для х2 + у2 = rf и внутри /С нет особых точек системы (163); 2) неустойчивый предельный цикл системы (163), если выраженге хР + vQ имеет знаки, обратные указанным, и внутри К нет особых точек системы.

В системе всегда существует только одна замкнутая траектория — устойчивый разрывный предельный цикл Рассмотрим точечное отображение точек полупрямой у > 0, х = 0 в себя, осуществляемое траекториями системы уравнений (41) — (43) Пусть отображение начальной точки в конечную, т е точки а в точку а', осуществляется по траектории abcda (рис 19) Тогда отображение точки а в точку а' можно представить в виде произведения промежуточных отображений, так что

Учитывая периодичность функций /v для замкнутой цилиндрической оболочки, решение уравнения (6.3. 18) запишем так:

В задачах устойчивости однородная система уравнений должна быть подчинена однородным граничным условиям. Так, если на торце замкнутой цилиндрической оболочки задано w — О, то остальные три однородных граничных условия на этом торце будут:

Решение этого уравнения для замкнутой цилиндрической оболочки можно искать в виде

230. Михайлов Р. Н. К вопросу о распространении и затухании нормальных волн в замкнутой цилиндрической оболочке.— В кн.: Вибрации и шумы.— М.: Наука, 1969.

Рассмотрим теперь граничные условия для замкнутой цилиндрической оболочки. Для того чтобы оболочка была статически определимой, необходимы два условия для определения функций /! (ф), /2 (ф). Эти условия должны быть наложены на усилия 7\, S на краях оболочки. При этом, так как в вырадеийа для 5 входит только одна функция /! (ф), сдвигающую силу можно задать лишь на одном краю оболочки.

Для замкнутой цилиндрической оболочки вспомогательную функцию Ф целесообразно представить в форме тригонометрического ряда по угловой координате ф:

с сердцевиной, представляющей группу не скрученных между собой нитей, находящихся внутри переплетённых нитей замкнутой цилиндрической оплётки.

вверх боковых валков (четырехвалковая машина). Гибку производят за несколько пропусков. После каждого пропуска кривизну листа увеличивают до получения замкнутой цилиндрической обечайки. Вальцовку полуобечаек (корыт) производят до получения раствора их кромок, соответствующего заданному радиусу, и до заданной кривизны.

Поверхностные явления в полупроводниковых структурах с замкнутой цилиндрической поверхностью второго порядка

Рассмотрим теперь граничные условия для замкнутой цилиндрической оболочки. Для того чтобы оболочка была статически определимой, необходимы два условия для определения функций /1 (ф), f2 (ф)> Эти условия должны быть наложены на усилия Т1г S на краях оболочки. При этом, так как в выражение для S входит только одна функция /V (ф), сдвигающую силу можно задать лишь на одном краю оболочки.

Для замкнутой цилиндрической оболочки вспомогательную функцию Ф целесообразно представить в форме тригонометрического ряда по угловой координате q>: