Замкнутой траектории

Теорема 2. Г-интегралы не изменяют своего значения вдоль любой замкнутой поверхности S, охватывающей особую точку, особую линию или особую поверхность. Поверхность 2 можно

МАГНИТНЫЙ ПОТОК - поток Ф вектора магнитной индукции В через к.-л. поверхность. М.п. do через бесконечно малый элемент поверхности площадью dS равен: dfb = BndS=BdScosa., где Bn = Bcosa. - проекция вектора В на направление единичного вектора п нормали к площади dS, а -угол между векторами В и п. М.п. Ф через конечную поверхность определяется интегралом от do по этой поверхности. Для замкнутой поверхности М.п. равен нулю, что указывает на отсут-

Уравнение (2.1) является математическим выражением закона теплопроводности Фурье, а значение А, характеризует интенсивность процесса теплопроводности и численно равно плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Количество теплоты Q,, теряемое произвольным объемом V внутри тела, можно определить путем интегрирования плотности теплового потока ^ по замкнутой поверхности А, ограничивающей этот объем так, что

проявляющим эффектов взаимодействия и имеющим минимальную сдвиговую прочность, с другой стороны. Предсказания для последнего аналогичны предсказаниям, полученным при помощи анализа, пренебрегающего влиянием сдвига. Пуппо и Эвенсен установили, что не существует единственной непрерывной замкнутой поверхности типа поверхности Хилла, которую можно переносить от одного крайнего случая до другого, и что критерий должен быть выражен через несколько уравнений, описывающих поверхности, пересекающиеся в пространстве напряжений.

Геометрическая характеристика области пространства, в которой изучается движение жидкости, в общем виде задается уравнением замкнутой поверхности S, ограничивающей область V,

Задача Малюжинца. Эта задача является наиболее общей задачей активного гашения (компенсации) произвольных акустических полей и формулируется следующим образом [221, 319, 363]: имеется некоторое первоначальное акустическое поле, требуется с помощью источников, расположенных на замкнутой поверхности, полностью компенсировать первоначальное поле внутри (или вне) этой поверхности. Г. Д. Малюжинец решил эту задачу для случая монохроматического поля в жидкой (газообразной) среде. Его решение состоит в том, что область, где компенсируется поле, нужно окружить тремя акустически прозрачными поверхностями (по терминологии Малюжинца, решетками): на одной из них расположить датчики (приемники), а на двух других — непрерывно распределенные монопольные и дипольные излучатели (источники), соединенные цепями обратной связи с приемниками; обратные связи можно выбрать так, чтобы суммарное поле внутри поверхностей было равно нулю, а вне поверхностей первоначальное поле осталось неискаженным. В последующем решение этой задачи было распространено на нестационарный случай [322], на твердые тела, в частности на стержни и пластины [261], на волноводы [66, 217, 218, 315, 321, 385]. Ей посвящено множество теоретических и экспериментальных работ {10, 11, 95—98, 165, 166, 187, 188, 294—296, 382, 383], где рассматриваются практические аспекты активного гашения акустических полей.

Испытуемые образцы имели форму втулок. Контакт происходил по их торцам. Площадь контакта равнялась 1 см2. Нижний образец был неподвижный. Верхний образец вращался с малой скоростью, при этом трение происходило по замкнутой поверхности скольжения. Образцы прижимались друг к другу с нормальными усилиями от 0 до 500 кг/см2.

где первый из интегралов берется по объему области В изменения вектора г мотора (г, г°), а второй — по замкнутой поверхности,

Теорема (Гаусса-Острогр адского). Интеграл от дивергенции винт-функции, взятый по объему, определяемому областью изменения вектора винта-аргумента, равен интегралу от этой винт-функции, взятому по замкнутой поверхности, ограничивающей данный объем.

Форма и расположение образцов при испытаниях показаны на рис. 4. Образцы имеют форму втулок. Контакт происходит по их торцам. Площадь контакта образцов можно изменять от 0,5 до 5 см2. Нижний образец неподвижен. Перемещение осуществляется вращением верхнего образца по замкнутой поверхности скольжения.

Такая замена объема V эффективной поверхностью частиц F', во-первых, позволяет свести интегрирование по объему к интегрированию по этой поверхности, а во-вторых, дает возможность перевести все объемные плотности излучения на поверхностные. Таким образом, излучающая система, состоящая из объема V и граничной поверхности F, заменяется эквивалентной излучающей системой, состоящей из одной замкнутой поверхности F°, равной сумме поверхности частиц F' и граничной поверхности F:

На рис. 6.26, а приведена принципиальная схема киносъемочного аппарата. Рулон неэкспонированной киноленты помещается в светонепроницаемую подающую касету 2, лз которой она постепенно вытягивается непрерывно вращающимся зубчатым барабаном 3, а затем, образуя петлю а, поступает в фильмовой капал 4, который обеспечивает ее фиксированное расположение относительно окна 5. Оптическое изображение снимаемого объекта формируется объективом 9 в плоскости светочувствительного слоя киноленты, находящейся напротив кадрового окна фильмового капала. Во время экспонирования кинолента должна быть неподвижна. Для фиксации изображения объекта и следующей фазе его движения кинолента передвигается вдоль фильмового канала строго па шаг кадра Н„ механизмом прерывистого движения (МПД) в. В момент передвижения киноленты световой поток, проходящий через объектив 9, перекрывается обтюратором 10. Затем кшюлен-а, образуя петлю а, поступает па зубчатый барабан 7, служащий для равномерной ее подачи в принимающую кассету 8. Петли она киноленты создают пеобхсдимый ее запас 1Л для прерывистого движения вдоль фильмового капала. Привод киносъемочного аппарата состоит из двигателя п передаточных механизмов. Тип двигателя выбирается в зависимости от характера съемок. В качестве механизмов прерывистого движения широко применяются грейферные рычажные и кулачковые механизмы. В грейферном механизме непрерывное вращательное движение входного звена — кривошипа преобразуется в движение выходного звена по замкнутой траектории. Выходное звено имеет одни пли несколько зубьев, которые продвигают киноленту на шаг кадра. Затем зубья выходят из перфорации и возвращаются в начальное положение и цикл движения повторяется, в результате чего кинолента движется прерывисто. Цикл работы грейферного механизма можно разбить на четыре фазы: вход зуба в перфорацию, протягивание кинолентj на шаг кадра, выход зуба из перфорации и возврат в исходное положение. Соприкосновение зуба грейфера е кинолентой сопровождается динамическим ударом. Для уменьшения удара о перфорационную перемычку угол входа зуба а должен быть близким к 90°. В этом случае составляющая скорости зуба грейфера в направлении фильмового капала будет мала. Для перемещения киноленты точно на шаг кадра необходимо, чтобы угол выхода р<90°. Для точной фиксации киноленты во время экспонирования применяется контргрейфер, зубья которого входят в перфорацию киноленты после выхода из нее зубьеп грейфера (рис, 6.26, в]. Фазовые углы движения кулачкового механизма коптргрейфера определяются из составленной для МПД циклограммы:

В большинстве конструкций шарики перемещаются по замкнутой траектории в гайке. Выкатываясь из резьбы, они возвращаются в исходное положение по обводным каналам, которые выполнены в специальных вкладышах (рис. 15.5), вставленных в окна гайки. Шарики не выводятся из контакта с винтом, а переваливаются через выступ резьбы. Обычно

Роликовые опоры с циркуляцией роликов по замкнутой траектории (см.

е > 0 можно указать такое б (е) > 0, что при выполнении неравенства р (х (t0), у) < б следует выполнение неравенства р (х (t), Y) < 8 Для всех значений t > t0 (рис. 1.10). Этим определениям можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Требование устойчивости по Ляпунову означает, что фазовые точки, расстояние между которыми в начальный момент не превышало величины б, в дальнейшем будут находиться друг от друга на расстоянии, меньшем величины е. Требование орбитной устойчивости несколько слабее: если в начальный момент расстояние фазовой точки от замкнутой траектории было меньше б, то в дальнейшем это расстояние не превысит величины е. Таким образом, орбитно устойчивоэ движение может оказаться неустойчивым по Ляпунову, однако периодическое движение, устойчивое по Ляпунову, всегда орбитно устойчиво.

Нетрудно убедиться в том, что закон движения х = = cos (t — t0), у — sin (/ — /о) представляет периодическое решение системы дифференциальных уравнений (3.4), которое можно рассматривать как параметрическое описание замкнутой траектории

Двигаясь по этим траекториям при значении С > 0, изображающая точка приближается к замкнутой траектории (3.5) изнутри, а при значениях С < 0 — снаружи. Следовательно, замкнутая траектория (3.5) представляет собой устойчивый предельный цикл. К этому результату можно также прийти, вычислив величину характеристического показателя h предельного цикла (3.5) по формуле (3.3). В рассматриваемом случае h = —2 < 0.

которая при возрастании времени вновь и вновь пересекается фазовыми траекториями, причем так, что промежутки времени между последовательными пересечениями ограничены. При выполнении сделанных выше предположений фазовые траектории рассматриваемой динамической системы порождают на секущей поверхности S некоторое непрерывное точечное отображение Т, которое любой точке М поверхности 5 ставит в соответствие ближайшую, следующую за М, точку /И пересечения фазовой траектории, выходящей из точки М, с поверхностью S. Часто в качестве секущей поверхности 5 выбирают некоторую плоскость. В этом случае задача изучения поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве сводится к исследованию точечного отображения Т плоскости в себя. Неподвижная точка отображения Т так же, как и в случае фазовой плоскости, соответствует замкнутой траектории „ в трехмерном фазовом простран-* стве. Устойчивая неподвижная точка отвечает орбитно устойчивому предельному циклу. Процедура нахождения точечного отображения Т в рассматриваемом случае аналогична описанной выше для случая фазовой плоскости, однако

которые осуществляют точечное отображение Т2 плоскости z = 0 в себя: точке М' однозначно ставится в соответствие точка М2. Точечное отображение 7\, определяемое соотношениями (4.10), и точечное отображение Т2, определяемое соотношениями (4.13), проведенные последовательно, определяют точечное отображение Т — Т1 • Tz, которое является произведением точечных отображений 7\ и 72, осуществляющее преобразование точки М, плоскости г — 0 в точку /И2. Это отображение можно записать в виде краткой формулы ТМ1 = Л12. При совпадении точек М1 и М2 эта формула превращается в уравнение ТМ* = М*, которому должна удовлетворять неподвижная точка М± = М2 = М*. Неподвижная точка отображения Т соответствует замкнутой траектории в трехмерном фазовом пространстве Ф. Из условия совпадения точек MI и Мг после подстановки в соотношения (4.10) и (4.13) значений х1 = х2 = х*, У! :=- Уч — У* получаем систему уравнений

ками качения для шариков (рис. 3.86). Шарики движутся по замкнутой траектории внутри гайки, возвращаясь от конца рабочего участка резьбы к началу по обводному каналу.

плёнки на 1 кадр посредством кине-матич. звена, наз. грейфером, имеющего для этого один или неск. зубьев. Зубья грейфера совершают возвратно-поступат. движение по замкнутой траектории, как правило, в одной плоскости. Иногда Г.м. дополняют контргрейфером для фиксации киноплёнки в строго опре-дел. положении относительно объектива в момент съёмки или проецирования изображения на экран.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА - огранич. область пространства, в к-рой потенциальная энергия частицы меньше, чем вне этой области; термин связан с видом графика зависимости потенц. энергии от координат. Если, полная энергия частицы меньше её потенциальной энергии на краю П.я., то частица, согласно представлениям классич. физики, остаётся в П.я. (находится в связанном состоянии). ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ - безвихревое движение жидкости (или газа), при к-ром каждый малый элемент её объёма деформируется и перемещается поступательно, не вращаясь. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ, консервативные силы, - силы, работа к-рых зависит только от нач. и конечного положений точки их приложения и не зависит ни от вида траектории этой точки, ни от закона её движения. Работа П.с. вдоль произвольной замкнутой траектории равна 0. Поле П.с. характеризуется скалярным потенциалом. П.с. F, действующая на материальную точку, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии Еп этой точки в поле силы F: F = -grad En, так что проекции F на оси координат равны: />= = -dfn/cUr; Fy= -d?f,/dy; />= -d?n/dz. Примеры П.с.- силы тяготения и силы электростатич. взаимодействия электрич. зарядов.