Замкнутого пространства

В соответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для выполнения первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты (1.2.9), с помощью которых можно рассчитать тензор напряжений (1.5.13). Если принять во внимание, что якобиан (1.2.20) и вспомогательный вектор D(L,) (1.2.94) также определяются законом движения (1.2.9), то становится очевидной зависимость вектора скорости в (1.2.95) от лагранжевых координат. Опуская промежуточные уравнения связи якобиана (1.2.20) и вспомогательного вектора D (1.2.94) с ла-гранжевыми координатами для трехмерного движения, устанавливаем, что в основных уравнениях (1.5.13) и (1.2.95) девять скалярных уравнений включают двенадцать скалярных неизвестных величин: a*; L,; Vt. Для замыкания множества необходимо вспомнить, что тензором напряжения может быть не любой тензор второго ранга, а лишь тот, который удовлетворяет уравнению движения (1.4.16). Однако в этом уравнении имеется дополнительная неизвестная величина - плотность р. Теперь двенадцать скалярных уравнений включают тринадцать неизвестных величин и множество уравнений не является пока замкнутой. Для замыкания множества добавим еще одно скалярное уравнение неразрывности среды (1.2.143), связывающее плотность и скорость и не вносящее дополнительных неизвестных величин. Полученное замкнутое множество уравнений будем называть основным множеством (табл. 4).

Из теории дифференциальных уравнений известно, что при интегрировании множества дифференциальных уравнений, содержащих производные искомой функции одного аргумента наивысшего порядка п, их общее решение зависит от п констант интегрирования. При интегрировании замкнутого множества уравнений, связанного с постановкой краевой задачи, количество таких констант зависит от наивысшего порядка производных по времени t и наивысших порядков производных по эйлеровым координатам Е,. Общее количество соотношений в краевых условиях должно быть равно общему количеству констант интегрирования. Причем эти условия могут быть заданы как для самих параметров, входящих в множество, так и для производных параметров по аргументам порядка не выше и -1.

Исходя из изложенного, подсчитаем количество соотношений в краевых условиях, необходимых для определения констант интегрирования основного замкнутого множества уравнений (табл. 4). Проще всего это можно сделать путем последовательных подстановок уравнений (1.5.13), (1.2.92), (1.4.5) основного множества в (1.4.16), приводящих множество четырех тензорных уравнений к одному тензорному уравнению. Тогда относительно лагранжевых координат Lk полученное дифференциальное уравнение будет содержать производные второго (наивысшего) порядка по времени Г и по эйлеровым Е, координатам. Значит в ДГ-мерном эйлеровом пространстве количество констант интегрирования л = 2(1 +N). Это же число определяет количество необходимых соотношений в краевых условиях. При этом отмечаем, что две константы были связаны с интегрированием по времени. Значит начальные условия должны содержать два соотношения. Одно из них определяет значение лагранжевых координат в начальный момент времени Г = Го, когда

Отсюда получаем значение параметра а, точно совпадающее с решением (1.5.119), полученным путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что в множество

Таким образом, на частном примере показано, что с помощью вариационного принципа ЖЛагранжа можно выполнять решение краевой задачи, а сам принцип является эквивалентом решения такой задачи путем интегрирования замкнутого множества дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями.

Сравнение (2.1.41) с ранее полученным путем интегрирования замкнутого множества уравнений решением (1.5.116) показывает, что боковые компоненты тензора напряжений одинаковы, а остальные параметры напряженного состояния совпадают структурно, Окончательный вид этих параметров зависит от значения неизвестного коэффициента а\. По существу а\ определяет уровень прикладываемых к движу-

Рассмотрим задачу ТП о движении несжимаемого изотропного пластичного тела в условиях плоской деформации. Математическая постановка такой задачи является частным вариантом общей математической постановки задач МСС, включающей уравнения основного замкнутого множества (табл. 4) и механические краевые условия (табл. 6).

В заключение этого подраздела отметим, что суть всякой вариационной задачи сводится к определению экстремалей функционала, сообщающих ему экстремальное значение. Разработке методов определения экстремалей функционалов посвящен раздел математики "Вариационное исчисление". Важность этого раздела в приложениях к решению инженерных задач трудно переоценить. В частности, вариационные принципы МСС позволяют заменить задачу об интегрировании замкнутого множества уравнений, описывающих движение сплошной среды, эквивалентной вариационной задачей, из постановки которой следует, что решения множества дифференциальных уравнений являются экстремалями некоторого функционала.

В этом случае неопределенные множители ЖЛагранжа Я.; и функции Yk находятся из решения замкнутого множества уравнений (П2.55), с заменой в них Fna Ф(Р->Ф), и уравнений (П2.63). Таким же образом поступают при наложении неголономных связей

Теперь для функционала (П2.67) можно решать обычную вариационную задачу об определении экстремалей с заданными граничными условиями. При этом решение такой задачи будет зависеть от неопределенных множителей Ж.Лагранжа, которые определяются из замкнутого множества уравнений, получаемого подстановкой этих решений в интегральные ограничения типа (П2.66).

После интегрирования назначенных в соответствии с граничными условиями координатных функций функционал (П2.73) превращается в функцию J(o.f) коэффициентов разложения, которые находятся из решения замкнутого множества уравнений

Учитывая далее, что функционал Ф (X) является непрерывно дифференцируемым, необходимое и достаточное условие его минимума на элементе X,. замкнутого множества М = (k^O) можно записать в виде вариационного неравенства

- осушители (силикагель, цеолиты). Осушители поглощают влагу из замкнутого пространства. При 40...50% влажности воздуха конденсация влаги и, следовательно, коррозия на металлических поверхностях, практически исключены;

Роль барьерных покрытий вплоть до значений паропроницаемости 100—150 заключается в уменьшении «живого» сечения упаковочного материала, через которое происходит удаление паров ингибитора из замкнутого пространства упаковки. При значениях паропроницаемости ниже 100 удаление паров ингибитора происходит через дефекты в барьерном покрытии. Существенно, что нанесение даже очень большого барьерного материала, например парафина (до 80—100 г на 1 м2 бумаги), не приводит к полному устранению потерь паров ингибитора-через упаковочный материал.

Применение такой системы целесообразно, когда значительная масса вредных веществ выделяется при выгрузке обрабатываемых предметов из ванны. Принципиальная основа системы состоит в том, что воздушная струя замыкается на всасывающем отверстии, не контактируя с поверхностью жидкости в ванне. Экспериментально установлено; что объем замкнутого пространства под струей не влияет сколько-нибудь существенно на геометрию струи.

нии газом замкнутого пространства

3. К анализу процесса лучистого теплообмена ГЗЗОБОГО объема с замкнутой оболочкой при полном заполнении газом замкнутого пространства

Из этих особенностей взрывного процесса вытекают три условия, достаточные для возникновения взрыва: наличие замкнутого пространства, подготовленной газовоздушной смеси и источника воспламенения. Мероприятия по предупреждению взрывов в газовом хозяйстве основываются на том, чтобы исключить одновременность событий, приводящих к выполнению этих условий, или не допустить последние два условия.

позволяет при поверхности нагрева F^ и ее температуре определить среднюю температуру Т любой из трех зон поверхности кладки площадью FK (м2), ограждающих рабочее пространство цилиндрической формы, а также поверхности факела. В уравнении (152) величины qn, qx, qy, qz и ды означают соответственно результирующие потоки на поверхностях пламени (факела), кладки (три поверхности х, у и г) и поверхности нагрева; /г, с, d, е, g и р — представляют собой коэффициенты, зависящие от формы замкнутого пространства, расположения в нем пламени и степени черноты последнего, поверхности нагрева и кладки.

На рис. 130 приведены кривые, рассчитанные для пламени цилиндрической формы с диаметром, равным !/з ширины замкнутого пространства. Развитие кладки принято равным со = 2,5, прочие параметры приняты равными: ем =0,65, ЕП =0,3.

Подобные устройства ввиду того, что они не образуют замкнутого пространства, не являются печами в общеупотребительном смысле этого слова, но ъ какой-то степени примыкают к ним, имея в некоторых случаях аналогичное значение. Разобщенность панели и изделия (вследствие отсутствия замкнутого

Фланцы с конусными уплотнительными поверхностями очень эффективны, если только объем замкнутого пространства меньше,

Довольно часто в практике встречаются задачи предохранения какого-либо замкнутого пространства от чрезмерного охлаждения или, наоборот, перегрева. Для этого вокруг объекта устраивают теплоизоляцию. Отсутствие внутренних источников тепла и, следовательно, невозможность создания стационарного режима исключают возможность применения обычных приемов расчета изоляции. Здесь можно применить теорию, изложенную в теоретической части в гл. VI: мы можем внутреннее пространство уподобить „ядру", а изоляцию рассматривать как „тонкую оболочку".