Зависимыми переменными

распределения зависимых случайных величин qti и qi2. Проектируя эту часть поверхности на плоскость gnfe. получим эллипс ABCD рассеивания некоррелированных величин qtl и qi2 или вектора ф(дц, qu). Нижнее основание поверхности плотности вероятностей p(qn, fe) асимптотически приближается к плоскости <7u<7;2> a поэтому на рис. 6.2 ограничено условно эллипсом /.

Рассмотрим вероятность совместного наступления двух зависимых случайных событий xf и Xj. Из теории вероятностей известно, что

Теоремы умножения вероятностей различны для независимых и для зависимых случайных событий.

Формула (2.57) относится к случаю как взаимно независимых, так и зависимых случайных аргументов.

Дисперсия случайной величины Z = / (Xlt Х2, ..., Х„), являющейся нелинейной функцией нескольких взаимно независимых случайных аргументов X,, допускающей линеаризацию, вычисляется по формуле

Распределение по закону Гаусса было впервые подробно исследовано в конце XVIII и начале XIX века Гауссом применительно к ошибкам наблюдений и Лапласом при рассмотрении предельных распределений при повторении испытаний. Однако исчерпывающее теоретико-вероятностное обоснование этого распределения было получено позднее в работах русских ученых П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А". М. Ляпунова, установивших условия возникновения распределения по закону Гаусса. Завершением этих работ явилась предельная теорема Ляпунова о распределении суммы независимых случайных слагаемых. С. Н. Берн-штейном эта теорема обобщена на сумму слабо зависимых случайных слагаемых. 80

Негауссовы законы распределения величин, образованных по схеме суммы большого числа слагаемых, называемые распределениями с функцией a (t) х, имеют место в тех случаях, когда в правой части формулы (3.98), помимо независимых или слабо зависимых случайных слагаемых Yt, подчиненных условиям Ляпунова или Бернштейна, имеется еще сумма С< = 2 cs(<) не-

суммы S и Q, а значит и их линейные функции (S sin a, Q sin а, S cos а, Q cos а), распределены по закону Гаусса. Величины S и Q, а значит и X и Y, являются здесь центрированными (а. = = aq ~ ах = ау = 0). В данном случае поворотом осей координат на угол а можно перейти от зависимых случайных величин X и Y к независимым случайным величинам S и Q. Если величины X, Y, S и Q не центрированы, то до поворота осей делается еще перенос начала координат в точку (ах, ау].

Показанное многообразие свойств объектов оптимизации и форм их учета определяет широкий диапазон возможных постановок задач оптимизации теплоэнергетических установок, их узлов и элементов с учетом случайных факторов. Наиболее проста задача оптимизации параметров и профиля установки (узла, элемента) при линейной относительно случайных величин зависимости критерия эффективности, взаимной независимости случайных величин и отсутствии ограничений на случайные факторы. Из числа наиболее сложных можно указать на задачу оптимизации установки при нелинейной зависимости критерия эффективности от случайных величин, наличии как взаимно независимых, так и взаимно зависимых случайных величин и сложных нелинейных ограничений на случайные величины.

Рассмотрим особенности учета взаимозависимости случайных величин при решении задачи оптимизации параметров теплоэнергетической установки при нелинейной относительно случайных величин зависимости критерия эффективности и отсутствии ограничений на случайные величины. Постановка задачи для этого случая и возможные пути ее решения совпадают с рассмотренными выше для случая с взаимно независимыми случайными величинами. Различие в свойствах случайных величин проявляется только при определении математического ожидания минимизируемой функции. При взаимно зависимых случайных величинах определение математического ожидания существенно усложняется.

Подход к формированию широкополосной нагрузки, имитирующей эксплуатационную вибрацию, в виде суммы зависимых случайных процессов [9] основан на разложении корреляционной функции моделирующего процесса в ряд по ортонормированной или биортонормированной системам функций. Эти системы строятся на основе специально выбираемых базисов. При этом учитывается реальная форма спектральных плотностей суммируемых зависимых процессов. По сравнению с традиционными методами повышается точность формирования энергетического спектра и уменьшается (примерно в 10 раз) число выделяющих фильтров. Полученные результаты являются методологической основой для построения цифровых и гибридных звеньев в системах формирования широкополосных случайных вибраций.

Концепция многоаспектного моделирования была сформулирована более 20 лет назад [69]. Она основана на аналогиях компонентных и топологических уравнений, составляющих математические модели объектов во многих предметных областях на макроуровне. При этом под макроуровнем моделирования понимается совокупность моделей с сосредоточенными параметрами (т.е. описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений) и методов их решения. Зависимыми переменными в этих моделях являются фазовые переменные, которые могут быть двух типов -переменными типа потенциала или переменными типа потока. В VHDL-AMS первые из них называются переменными across quantity, вторые - through quantity. Компонентные уравнения выражают связи между across и through переменными в отдельных элементах моделируемых объектов, а топологические уравнения - между однотипными фазовыми переменными разных элементов. Так, в случае электрических систем примерами компонентных уравнений могут быть уравнения закона Ома, а топологических - уравнения законов Кирхгофа. Фазовые переменные, используемые в моделях разных предметных областей (energy domains), перечислены в табл. 2.13.

Согласно первому условию подобия эти уравнения, записанные' в безразмерном виде, должны быть тождественными для одноименных параметров. Только в этом случае можно говорить о точном подобии. При этом физические параметры будут изменяться в рассматриваемом пространстве, т. е. будут зависеть от координат (при нестационарном процессе и от времени) и, следовательно, являться зависимыми переменными.

В этой системе k первых величин х\$, х2р, ••-, Xk$ являются независимыми переменными, a m = п — k величин %+D, ..., хпр, — зависимыми переменными.

Возьмем два качественно различных явления, каждое из которых состоит в изменении величин хп, хи, ..., хп\ и лг1а, л:22, ...,х„2, причем величины Хц, л:21, ..., XM и л:1а, х22, ..., кш являются независимыми, а величины X(ft+i)i, ...,хп\ и ^+1)2, ••-. хп2 — зависимыми переменными.

Возьмем N различных явлений, каждое из которых состоит в изменении переменных величин х\$, х^, ..., х„$ (Р = 1, 2, ... ..., N) и определяется системой уравнений (4.20). Как и выше, величины %ip, #2p, ..., Xkft будут независимыми переменными, a %-fi>p, ... ..., хп$ — зависимыми переменными. Напомним, что число уравнений т системы (4.20) должно быть равно п • — k.

В уравнениях (4.27) — (4.30) независимыми переменными являлись величины jcip, *2р, x3$, t$. Зависимыми переменными являются W]$, Wzp, йУзр, рр, (*р и Гр. Такими же переменными являются ср„ и А,р, так как для сжимаемых жидкостей, приближающихся по своим физическим свойствам к идеальным газам, величины сР6 и Хр определяются формулами

Действительно, установив уравнение прибора q = f (x, у, z,. . .) или q = F (х, у, z,. . .), проводят тщательный анализ взаимосвязи между измеряемой величиной X = q и независимыми и зависимыми переменными этой функции.

Согласно этому характер анализа определяется уравнением прибора, так как уравнение может быть с одной переменной, с двумя и более переменными, с независимыми и зависимыми переменными.

Случай первый, наипростейший. Неоднородность полей температур и давлений столь незначительна, что все физические параметры текущей среды, включая ее плотность, можно принять практически за постоянные. Имея в виду температурные условия такого процесса, его можно условно называть изотермическим теплообменом. Заданы по произволу геометрические и физические параметры1, характерная скорость да0 и характерный температурный напор М0- Независимыми переменными служат координаты, зависимыми переменными — местные значения компонентов скоростей, температурных напоров и напоров давления Др, причем местное давление отсчитывается от некоторого фиксированного давления р0.

Гидродинамические характеристики квазистационарного потока использовались при численном анализе корреляционных зависимостей в качестве независимых переменных (факторов). Откликами (зависимыми переменными) являлись обобщенные характеристики спектральной модели: масштабы L, К, г\ и параметры ef Af($o), м/С/, полученные при исследовании спектра энергии гидроупругих колебаний потока во входных патрубках насосов [3].

Если известен аналитический вид распределения времени безотказной работы, то объем факторного эксперимента можно значительно сократить. Количество исследуемых факторов следует выбирать минимально необходимым. Целесообразно пополнить недостающую информацию за счет проведения кратковременных факторных экспериментов, преследующих цель изучения влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на работоспособность конкретных устройств. В этом случае зависимыми переменными могут быть выбраны различные качественные характери-